На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних - правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .
Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.
Графически функция непрерывна в точке ,
если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной
функции - 
показан на рисунке ниже.
Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:
1. Функция определена в точке .
Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 - на рисунке ниже.
Пример 1. Функция f (x ) определена следующим образом:
Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?
Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.
Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
.
Найдём правосторонний предел:
x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .
Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
Найдём правосторонний предел:
Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
.
Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .
Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:
Найдём правосторонний предел:
Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
.
Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .
Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.
Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение
Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .
Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.
Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f (m ) , m ≥0 .
Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f (m ) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f (m ) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.
Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика .
Непрерывность функции на промежутке
Пусть функция y = f (x ) определена в интервале ]a , b [ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a , b [ . Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b [ , ]a , + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Пусть теперь функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ] . Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a , оставаясь на отрезке [a , b ] , мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a , b ] , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .
Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a , b ] , функция непрерывна на отрезке [0 , b ] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .
Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.
Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах
.Пример 5.
Определить, при каком значении
параметра a
непрерывна на всей области определения
функция
Решение.
Найдём правосторонний предел при :
.
Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :
a = 1,5 .
Пример 6.
Определить, при каких значениях
параметров a
и b
непрерывна на всей области определения
функция
Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :
.
Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:
Найдём левосторонний функции в точке :
Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :
Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .
Основные свойства непрерывных функций
К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f (t ) , даёт пример непрерывной функции f (t ) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f (t ) .
В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.
1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.
2. Функция f (x ) , непрерывная на интервале [a , b ] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f (a ) и f (b ) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .
Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :
Так как , то мы можем записать
Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.
Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:
А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:
Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).
Непрерывность основных элементарных функций
1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.
Сначала рассмотрим функцию f(x)=x
. По первому определению предела функции в точке a
возьмем любую последовательность {x n }
, сходящуюся к a
, тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n }
также будет сходиться к a
, то есть 
, то есть функция f(x)=x
непрерывная в любой точек числовой прямой.
Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.
2) Показательная функция.
Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.
Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:
3) Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0
при a>1
и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0
при 0
4) Гиперболические функции.
Гиперболическими функциями называются следующие функции:
Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).
5) Степенная функция
Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .
6) Тригонометрические функции.
Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .
7) Обратные тригонометрические функции.
Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.
Два замечательных предела
Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.
Этот предел называется первым замечательным пределом .
Доказательство
. При 0
Эти неравенства справедливы также и для значений x
, удовлетворяющих условиям -π/2
. Так как cos x
- непрерывная функция, то 
. Таким образом, для функций cos x
, 1 и в некоторой δ
-окрестности точки x=0
выполняются все условия теорем. Следовательно, 
.
Теорема
. Предел функции 
при x → ∞
существует и равен числу e
:
Этот предел называется вторым замечательным пределом .
Замечание . Верно также, что
Непрерывность сложной функции
Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .
Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).
Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.
Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.
Пусть функция определена на отрезке и - некоторая точка этого отрезка. Функция называется непрерывной в точке , если при стремлении к ( рассматривается только из отрезка ) значения функции стремятся к , т.е. если
. (1)
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.
Если в точке равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке .
Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.
Величина называется приращением аргумента, разность значений функции называется приращением функции и обозначается . Очевидно, что при стремлении к приращение аргумента стремится к нулю: .
Перепишем равенство (1) в равносильном виде
.
Используя введенные обозначения, его можно переписать так:
Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке функции, приращению соответствует приращение функции . На рис. 4 приращению соответствует такое приращение функции , которое, как бы мало ни было, не будет меньше половины длины отрезка ; функция разрывна в точке .
Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.
1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.
2. Функция , непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между и .
3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если - наименьшее, а - наибольшее значения функции на отрезке , то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и .
Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения , хотя оно заключено между и . На рис. 6 приведен пример разрывной функции (дробная часть числа ), которая не достигает своего наибольшего значения..
Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.
К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути от времени , выраженная законом , дает пример непрерывной функции .
С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».
Определение непрерывности функции в точке
Функция f(x)
называется непрерывной в точке x 0
окрестности U(x 0)
этой точки, и если предел при x
стремящемся к x 0
существует и равен значению функции в x 0
:
.
Здесь подразумевается, что x 0 - это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x)
называется непрерывной справа (слева) в точке x 0
, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0
равен значению функции в x 0
:
.
Примеры
Пример 1
Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x .
Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x . Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.
Используем определение по Гейне
Используем . Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к :
.
Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
то
.
Непрерывность доказана.
Используем определение по Коши
Используем .
Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки .
Поэтому будем считать, что
(П1.1)
.
Применим формулу:
.
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:
;
(П1.2)
.
Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
;
(П1.3)
.
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если ,
то .
.
Теперь рассмотрим точку .
В этом случае
.
.
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.
Пример 2
Используя доказать, что функция непрерывна для всех .
Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .
Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки .
Поэтому будем считать, что
(П2.1)
.
Применим формулу:
(П2.2)
.
Положим .
Тогда
.
Учитывая (П2.1), сделаем оценку:
.
Итак,
.
Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:
.
Итак,
(П2.3)
.
Вводим положительные числа и ,
связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если ,
то .
Это означает, что для любого положительного всегда найдется .
Тогда для всех x
,
удовлетворяющих неравенству ,
автоматически выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .
Теперь рассмотрим точку .
Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется .
Тогда для всех x
,
таких что ,
выполняется неравенство:
.
Это означает, что .
То есть функция непрерывна справа в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.
Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.
При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).
Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:
- первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
- второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.
Свойства непрерывных функций
- Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
- Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
- Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.
Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:
- постоянная;
- рациональная;
- тригонометрические.
Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.
Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.
Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.
Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.
Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.
Loading...