Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины , то есть её отклонения от математического ожидания. В статистике для обозначения дисперсии часто употребляется обозначение (сигма в квадрате). Квадратный корень из дисперсии , равный , называется стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Хотя для оценки всей выборки очень удобно использовать лишь одно значение (такое как среднее значение или моду и медиану), этот подход легко может привести к неправильным выводам. Причина такого положения лежит не в самой величине, а в том, что одна величина никак не отражает разброс значений данных.
Например, в выборке:
среднее значение равно 5.
Однако, в самой выборке нет ни одного элемента со значением 5. Возможно, Вам потребуется знать степень близости каждого элемента выборки к ее среднему значению. Или, другими словами, вам потребуется знать дисперсию значений. Зная степень изменения данных, Вы можете лучше интерпретировать среднее значение , медиану и моду . Степень изменения значений выборки определяется путем вычисления их дисперсии и стандартного отклонения.
Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднего значения выборки. Среди этих двух величин наибольшее значение имеет стандартное отклонение . Это значение можно представить как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.
Дисперсию трудно интерпретировать содержательно. Однако, квадратный корень из этого значения является стандартным отклонением и хорошо поддается интерпретации.
Стандартное отклонение вычисляется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.
Например, для массива данных, приведенных на рисунке, будут получены следующие значения:
Рисунок 1
Здесь среднее значение квадратов разностей равно 717,43. Для получения стандартного отклонения осталось лишь взять квадратный корень из этого числа.
Результат составит приблизительно 26,78.
Следует помнить, что стандартное отклонение интерпретируется как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего значения выборки.
Стандартное отклонение показывает, насколько хорошо среднее значение описывает всю выборку.
Допустим, Вы являетесь руководителем производственного отдела по сборке ПК. В квартальном отчете говорится, что выпуск за последний квартал составил 2500 ПК. Плохо это или хорошо? Вы попросили (или уже в отчете есть эта графа) в отчете отобразить стандартное отклонение по этим данным. Цифра стандартного отклонения, например, равна 2000. Становится понятным для Вас, как руководителя отдела, что производственная линия требует лучшего управления (слишком большие отклонения по количеству собираемых ПК).
Вспомним: при большой величине стандартного отклонения данные широко разбросаны относительно среднего значения, а при маленькой – они группируются близко к среднему значению.
Четыре статистические функции ДИСП(), ДИСПР(), СТАНДОТКЛОН() и СТАНДОТКЛОНП() – предназначены для вычисления дисперсии и стандартного отклонения чисел в интервале ячеек. Перед тем как вычислять дисперсию и стандартное отклонение набора данных, нужно определить, представляют ли эти данные генеральную совокупность или выборку из генеральной совокупности. В случае выборки из генеральной совокупности следует использовать функции ДИСП() и СТАНДОТКЛОН(), а в случае генеральной совокупности – функции ДИСПР() и СТАНДОТЛОНП():
| Генеральная совокупность | Функция |
 | ДИСПР() |
 | СТАНДОТЛОНП() |
| Выборка | |
 | ДИСП() |
 | СТАНДОТКЛОН() |
Дисперсия (а так же стандартное отклонение), как мы отмечали, свидетельствуют о том, в какой степени входящие в набор данных величины разбросаны вокруг среднего арифметического.
Малое значение дисперсии или стандартного отклонения говорит о том, что все данные сосредоточены вокруг среднего арифметического, а большое значение этих величин – о том, что данные разбросаны в широком диапазоне значений.
Дисперсию достаточно трудно интерпретировать содержательно (что значит малое значение, большое значение?). Выполнение Задания 3 позволит визуально, на графике, показать смысл дисперсии для набора данных.
Задания
· Задание 1.
· 2.1. Дать понятия: дисперсия и стандартное отклонение; их символьное обозначение при статистической обработке данных.
· 2.2. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 1 и произвести необходимые расчеты.
· 2.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах
· 2.4. Пояснить все обозначения ( , , )
· 2.5. Пояснить практическое значение понятия дисперсия и стандартное отклонение.
Задание 2.
1.1. Дать понятия: генеральная совокупность и выборка; математическое ожидание и среднее арифметическое их символьное обозначение при статистической обработке данных.
1.2. В соответствии с рисунком 2 оформить рабочий лист и произвести расчеты.
1.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах (для генеральной совокупности и выборке).
Рисунок 2
1.4. Объяснить, почему возможны получения таких значений средних арифметических в выборках как 46,43 и 48,78 (см. файл Приложение). Сделать выводы.
Задание 3.
Имеется две выборки с различным набором данных, но среднее для них будет одинаковым:
Рисунок 3
3.1. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 3 и произвести необходимые расчеты.
3.2. Приведите основные формулы расчета.
3.3. Постройте графики в соответствии с рисунками 4, 5.
3.4. Поясните полученные зависимости.
3.5. Аналогичные вычисления проведите для данных двух выборок.
Исходная выборка 11119999
Значения второй выборки подбираете так, что бы среднее арифметическое для второй выборки было таким же, например,:
Подберите значения для второй выборки самостоятельно. Оформите вычисления и построения графиков подобно рисункам 3, 4, 5. Покажите основные формулы, которые использовали при вычислениях.
Сделайте соответствующие выводы.
Все задания оформить в виде отчета со всеми необходимыми рисунками, графиками, формулами и краткими пояснениями.
Примечание: построение графиков обязательно пояснить с рисунками и краткими пояснениями.
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается 2 . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
дисперсия невзвешенная (простая);
дисперсия
взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т. д.).
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается :
среднее
квадратическое отклонение невзвешенное;
среднее
квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.
Порядок расчета дисперсии взвешенной следующий:
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную:
2) рассчитывают отклонения вариантов от средней:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта от средней:
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5) суммируют полученные произведения:
6) полученную сумму делят на сумму весов:
Пример 2.1
Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице. Определим дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение будет равно:
Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения , то сначала нужно определить дискретное значение признака, а затем применить изложенный метод.
Пример 2.2
Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы.
Средняя арифметическая равна:
Исчислим дисперсию:
6.3. Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.
Дисперсия имеет следующие свойства.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсию не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсию не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение в k раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величинами:
Если А 0, то приходим к следующему равенству:
т. е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую :
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта ряда:
х i 2 .
4) находят сумму квадратов вариантов:
5) делят сумму квадратов вариантов на их число, т. е. определяют средний квадрат:
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:
Пример 3.1 Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:
Произведем следующие расчеты:
Вариационный размах (или размах вариации) - это разница между максимальным и минимальным значениями признака:
В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в 5 раз больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более «устойчива», но резервов роста выработки больше у второй бригады, т.к. в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею может быть изготовлено 3*125=375 деталей, а в 1-й бригаде только 105*3=315 деталей.
Если крайние значения признака не типичны для совокупности, то используют квартильный или децильный размахи. Квартильный размах RQ= Q3-Q1 охватывает 50% объема совокупности, децильный размах первый RD1 = D9-D1охватывает 80% данных, второй децильный размах RD2= D8-D2 – 60 %.
Недостатком показателя вариационного размаха является, но что его величина не отражает все колебания признака.
Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение
, представляющее собой среднюю арифметическую абсолютных отклонений отдельных вариант от их средней величины:
,
для сгруппированных данных 
,
где хi – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении.
В вышеприведенных формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.
Дисперсия признака
– это средний квадрат отклонений вариант от их средней величины:
простая дисперсия
,
взвешенная дисперсия
.
Формулу для расчета дисперсии можно упростить:
Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариант и квадрата средней из вариант совокупности:
.
Однако, вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают среднее квадратическое отклонение
, которое показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения. Вычисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:
для несгруппированных данных
,
для вариационного ряда
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность, тем более надежной (типичной) будет средняя величина.
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - именованные числа, т. е. выражаются в единицах измерения признака, идентичны по содержанию и близки по значению.
Рассчитывать абсолютные показатели вариации рекомендуется с помощью таблиц.
Таблица 3 – Расчет характеристик вариации (на примере срока данных о сменной выработке рабочих бригады)
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
|||||
Итого: |
|||||||
Среднесменная выработка рабочих:
Среднее линейное отклонение:
Дисперсия выработки:
Среднее квадратическое отклонение выработки отдельных рабочих от средней выработки:
.
1 Расчет дисперсии способом моментов
Вычисление дисперсий связано с громоздкими расчетами (особенно если средняя величина выражена большим числом с несколькими десятичными знаками). Расчеты можно упростить, если использовать упрощенную формулу и свойства дисперсии.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
- если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то дисперсия от этого не уменьшится:
,
, то или 
Используя свойства дисперсии и сначала уменьшив все варианты совокупности на величину А, а затем разделив на величину интервала h, получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
,
где – дисперсия, исчисленная по способу моментов;
h – величина интервала вариационного ряда;
– новые (преобразованные) значения вариант;
А– постоянная величина, в качестве которой используют середину интервала, обладающего наибольшей частотой; либо вариант, имеющий наибольшую частоту; 
– квадрат момента первого порядка;
– момент второго порядка.
Выполним расчет дисперсии способом моментов на основе данных о сменной выработке рабочих бригады.
Таблица 4 – Расчет дисперсии по способу моментов
Группы рабочих по выработке, шт. |
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
||
Порядок расчета:
- рассчитываем дисперсию:
2 Расчет дисперсии альтернативного признака
Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения. Это альтернативные признаки. Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0. Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р=q является частостью варианты 0. Таким образом,
хi |
|
Средняя арифметическая альтернативного признака
, т. к. p+q=1.
Дисперсия альтернативного признака
, т.к. 1-р=q
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.
3 Межгрупповая дисперсия. Правило сложения дисперсий
Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.
Общая дисперсия
измеряет вариацию признака у
по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.
Межгрупповая дисперсия
характеризует вариацию результативного признака у
, вызванную влиянием признака-фактора х
, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :
,
где – средняя арифметическая i-той группы;
– численность единиц в i-той группе (частота i-той группы);
– общая средняя совокупности.
Внутригрупповая дисперсия
отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы: 
или 
,
где – число единиц в группе.
На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий
:
.
Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий
, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:
Пример
. При изучении влияния тарифного разряда (квалификации) рабочих на уровень производительности их труда получены следующие данные.
Таблица 5 – Распределение рабочих по среднечасовой выработке.
№ п/п |
Рабочие 4-го разряда |
Рабочие 5-го разряда |
|||||
Выработка |
Выработка |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
В данном примере рабочие разделены на две группы по факторному признаку х
– квалификации, которая характеризуется их разрядом. Результативный признак – выработка – варьируется как под его влиянием (межгрупповая вариация), так и за счет других случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью трех дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у
под влиянием факторного признака х
. Остальная часть общей вариации у
вызвана изменением прочих факторов.
В примере эмпирический коэффициент детерминации равен:
или 66,7 %,
Это означает, что на 66,7% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в квалификации, а на 33,3% – влиянием прочих факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение
показывает тесноту связи между группировочным и результативными признаками. Рассчитывается как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
Эмпирическое корреляционное отношение , как и , может принимать значения от 0 до 1.
Если связь отсутствует, то =0. В этом случае =0, то есть групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Значит группировочный признак – фактор не влияет на образование общей вариации.
Если связь функциональная, то =1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (), то есть внутригрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Для качественной оценки тесноты связи между признаками пользуются соотношениями Чэддока.
В примере 
, что свидетельствует о тесной связи между производительностью труда рабочих и их квалификацией.
Виды дисперсий:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле
где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.
Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:
где
n i -
число единиц в группе
Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.
где - средняя величина по отдельной группе.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:
Свойства:
25 Относительные показатели вариации
|
Коэффициент осцилляции |
|
|
Относительное линейное отклонение |
|
|
Коэффициент вариации |
|
Коэф. Осц. о тражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл . характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения
В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.
Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.
Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.
Показатели формы распределения:
Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.
Следовательно,
при (левосторонней) отрицательной
асимметрии 
.
При (правосторонней) положительной
асимметрии
.
Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:
,
где μ 3 – центральный момент третьего порядка.
- эксцесс (Е к ) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:
,
где μ 4 – центральный момент 4-ого порядка.
Закон нормального распределения
Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:
Матожидание- стандартное отклонение
Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо
Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.
Кривая нормального распределения представляет собой полигон(симметричная колокобразная прямая)
Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.
Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:
Общая дисперсия исходной совокупности:
где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.
Внутригрупповые дисперсии:
где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.
Межгрупповая дисперсия:
Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.
Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:
Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии
Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.
(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.
4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К 2 раз.)
Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)
Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.
Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом
Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными .
Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки .
Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными .
Выборочное исследование включает следующие этапы:
Характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая, то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;
Расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;
Проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.
Доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);
Анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)
Наряду с изучением вариации признака по всей по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Выделяют дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую
.
Общая дисперсия σ 2
измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, .
Межгрупповая дисперсия (δ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
.
Внутригрупповая дисперсия (σ)
отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:
.
Средняя из внутригрупповых дисперсий
: 
.
Существует закон, связывающий 3 вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии: 
.
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий
.
В анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η 2):
.
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (η)
:
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Покажем его практическое использование на следующем примере (табл. 1).
Пример №1 . Таблица 1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НПО «Циклон»
Рассчитаем общую и групповые средние и дисперсии:
Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии представлены в табл. 2.
Таблица 2
Расчет и δ 2 по двум группам рабочих.
|
Группы рабочих | Численность рабочих, чел. | Средняя, дет./смен. | Дисперсия |
| Прошедшие техническое обучение | 5 | 95 | 42,0 |
| Не прошедшие техническое обучение | 5 | 81 | 231,2 |
| Все рабочие | 10 | 88 | 185,6 |
.
Межгрупповая дисперсия
Общая дисперсия:
Таким образом, эмпирическое корреляционное соотношение: .
Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления следующих видов дисперсий:
Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле
где n i – численность единиц в отдельных группах.Доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:
.
Это соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсий доли признака.
Loading...