Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность .
Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.
- (·)O — называется центром окружности.
- Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности . Радиус окружности обозначается буквой «R ». На рисунке выше — это отрезок «OA ».
- Отрезок, который соединяет
две точки окружности и проходит через её центр, называется
диаметром окружности
.
Диаметр окружности обозначается буквой «D ». На рисунке выше — это отрезок «BC ».
На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому справедливо выражение «D = 2R ».
Число π и длина окружности
Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.
В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.
Запомните!
Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым
для всех
окружностей и обозначается греческой буквой π
(«Пи»).
π
≈ 3,14…
Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно
ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам
для наших вычислений достаточно использовать значение π
,
округленное до разряда сотых
π
≈ 3,14…
Теперь, зная, что такое число π , мы можем записать формулу длины окружности.
Запомните!
Длина окружности
— это произведение числа π
и диаметра окружности.
Длина окружности обозначается буквой «С
» (читается как «Це»).
C = π
D
C = 2π
R
, так как D = 2R
Как найти длину окружности
Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.
Виленкин 6 класс. Номер 831
Условие задачи:
Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.
Воспользуемся формулой длины окружности:
C = 2π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см
Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.
Виленкин 6 класс. Номер 835
Условие задачи:
Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. (π ≈ 3,14 ).
Выразим из формулы длины окружности диаметр.
C = π
D
D = С / π
D = 56,52 / 3,14 = 18
дм
Хорда и дуга окружности
На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A » и «B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой . Это синяя дуга «AB » и черная дуга «AB ». Точки «A » и «B » называют концами дуг .
И в чем ее отличие от круга. Возьмите ручку или цвета и нарисуйте на листке бумаги обычный круг. Закрасьте всю середину полученной фигуры синим карандашом. Красный контур, обозначающий границы фигуры, - это окружность. А вот синее содержимое внутри нее - и есть круг.
Размеры круга и окружности определяются диаметром. На красной линии, обозначающей окружность, отметьте две точки таким образом, чтобы они оказались зеркальным отражением друг друга. Соедините их линией. Отрезок обязательно пройдет через точку в центре окружности. Этот отрезок, соединяющий противоположные части окружности, и называется в геометрии диаметром.
Отрезок, который тянется не через центр окружности, но смыкается с ней противоположными концами, называется хордой. Следовательно, хорда, пролегающая через точку центра окружности, и является ее диаметром.
Обозначается диаметр латинской буквой D. Находить диаметр окружности можно по таким значениям, как площадь, длина и радиус круга.
Расстояние от центральной точки до точки, отложенной на окружности, называется радиусом и обозначается буквой R. Знание величины радиуса помогает вычислить диаметр окружности одним несложным действием:
К примеру, радиус - 7 см. Умножаем 7 см на 2 и получаем величину, равную 14 см. Ответ: D заданной фигуры равен 14 см.
Иногда приходится определять диаметр окружности лишь по ее длине. Здесь необходимо применить специальную формулу, помогающую определить Формула L = 2 Пи * R, где 2 - это неизменная величина (константа), а Пи = 3,14. А так как известно, что R = D * 2, то формулу можно представить и другим способом
Данное выражение применимо и как формула диаметра окружности. Подставив известные в задаче величины, решаем уравнение с одним неизвестным. Допустим, длина равна 7 м. Следовательно:
Ответ: диаметр равен 21,98 метрам.
Если известно значение площади, то также можно определить диаметр окружности. Формула, которая применяется в данном случае, выглядит так:
D = 2 * (S / Пи) * (1 / 2)
S - в данном случае Допустим, в задаче она равна 30 кв. м. Получаем:
D = 2 * (30 / 3, 14) * (1 / 2) D = 9, 55414
При обозначенной в задаче величине, равной объему (V) шара, применяется следующая формула нахождения диаметра: D = (6 V / Пи) * 1 / 3.
Иногда приходится находить диаметр окружности, вписанной в треугольник. Для этого по формуле находим радиус представленной окружности:
R = S / p (S - площадь заданного треугольника, а p - периметр, разделенный на 2).
Полученный результат увеличиваем вдвое, учитывая, что D = 2 * R.
Нередко находить диаметр окружности приходится и в быту. К примеру, при определении что равносильно его диаметру. Для этого необходимо обмотать палец потенциального обладателя кольца ниткой. Отметить точки соприкосновения двух концов. Измерить линейкой длину от точки до точки. Полученное значение умножаем на 3,14, следуя формуле определения диаметра при известной длине. Так что, утверждение о том, что познания в геометрии и алгебре в жизни не пригодятся, не всегда соответствует действительности. А это является серьезным поводом для того, чтобы более ответственно относиться к школьным предметам.
– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..
Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.
Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:
Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R
= 4 см. Найдем площадь фигуры.
Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.
Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .
Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R
= 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.
Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:
Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.
Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.
Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности
Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l
= 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:
Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.
Площадь круга описанного вокруг квадрата
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.
Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a
ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:
Loading...