Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.
Преобразование Фурье является основоположником спектрального анализа. Спектральный анализ – это способ обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. В зависимости от того, каким образом представлен сигнал, используют разные преобразования Фурье. Различают несколько видов преобразования Фурье:
– Непрерывное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Continue Time Fourier Transform – CTFT или, сокращенно, FT );
– Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Discrete Fourier Transform – DFT );
– Быстрое преобразование Фурье (в англоязычной литературе Fast Fourier transform – FFT ).
Непрерывное преобразование Фурье
Преобразование Фурье является математическим инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии. Непрерывное преобразование фактически является обобщением рядов Фурье при условии, что период разлагаемой функции устремить к бесконечности. Таким образом, классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.
Существует несколько видов записи непрерывного преобразования Фурье, отличающихся друг от друга значением коэффициента перед интегралом (две формы записи):
или 
где и - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;
- круговая частота.
Следует отметить, что разные виды записи встречаются в различных областях науки и техники. Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. В математической литературе прямое и обратное преобразование Фурье умножаются на множитель , в то время как в физике чаще всего при прямом преобразовании множитель не ставят, а при обратном ставят множитель . Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.
Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:
Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:
Таким образом, непрерывное преобразование Фурье позволяет представить непериодическую функцию в виде интеграла функции, представляющей в каждой своей точке коэффициент ряда Фурье для непериодической функции.
Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию . Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида (две формы записи):
или 
где - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;
- круговая частота.
Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:
Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:
В качестве примера, рассмотрим следующую функцию 
. График исследуемой экспоненциальной функции представлен ниже.
Поскольку функция является четной функцией, то непрерывное преобразование Фурье будет определяться следующим образом:
В результате получили зависимость изменения исследуемой экспоненциальной функции на частотном интервале (см. ниже).
Непрерывное преобразование Фурье используют, как правило, в теории при рассмотрении сигналов, которые изменяются в соответствии с заданными функциями, но на практике обычно имеют дело с результатами измерений, которые представляют собой дискретные данные. Результаты измерений фиксируются через равные промежутки времени с определённой частотой дискретизации, например, 16000 Гц или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.
Существует важная теорема Котельникова (в иностранной литературе встречается название «теорема Найквиста-Шеннона», «теорема отсчетов»), которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр (0…fmax), может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра - частота дискретизации (fдискр >= 2*fmax). Другими словами, при частоте дискретизации 1000 Гц из аналогового периодического сигнала можно восстановить сигнал с частотой до 500 Гц. Следует отметить, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте приводит к периодизации функции.
Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов.
Прямое дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие временной функции , которая определена N-точками измерений на заданном временном интервале, другую функцию , которая определена на частотном интервале. Следует отметить, что функция на временном интервале задается с помощью N-отсчетов, а функция на частотном интервале задается с помощью K-кратного спектра.
k ˗ индекс частоты.
Частота k-го сигнала определяется по выражению
где T - период времени, в течение которого брались входные данные.
Прямое дискретное преобразование может быть переписано через вещественную и мнимую составляющие. Вещественная составляющая представляет собой массив, содержащий значения косинусоидальных составляющих, а мнимая составляющая представляет собой массив, содержащий значения синусоидальных составляющих.
Из последних выражений видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от одного колебания за период до N колебаний за период.
Дискретное преобразование Фурье имеет особенность, так как дискретная последовательность может быть получена суммой функций с различным составом гармонического сигнала. Другими словами, дискретная последовательность раскладывается на гармонические переменные – неоднозначно. Поэтому при разложении дискретной функции с помощью дискретного преобразования Фурье во второй половине спектра возникают высокочастотные составляющие, которых не было в оригинальном сигнале. Данный высокочастотный спектр является зеркальным отображением первой части спектра (в части частоты, фазы и амплитуды). Обычно вторая половина спектра не рассматривается, а амплитуды сигнала первой части спектра - удваиваются.
Следует отметить, что разложение непрерывной функции не приводит к появлению зеркального эффекта, так как непрерывная функция однозначно раскладывается на гармонические переменные.
Амплитуда постоянной составляющей является средним значением функции за выбранный промежуток времени и определяется следующим образом:
Амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала определяются по следующим соотношениям:
Полученные значения амплитуды и фазы называют полярным представлением (polar notation). Результирующий вектор сигнала будет определяться следующим образом:
Рассмотрим алгоритм преобразования дискретно заданной функции на заданном интервале (на заданном периоде) с количеством исходных точек
Д искретное преобразование Фурье
В результате преобразования получаем вещественное и мнимое значение функции , которая определена на частотном диапазоне.
Обратное дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие частотной функции , которая определена K-кратным спектром на частотном интервале, другую функцию , которая определена на временном интервале.
N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;
k ˗ индекс частоты.
Как уже было сказано, дискретное преобразование Фурье N-точкам дискретного сигнала ставит в соответствие N-комплексных спектральных отсчетов сигнала . Для вычисления одного спектрального отсчета требуется N операций комплексного умножения и сложения. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма дискретного преобразования Фурье является квадратичной, другими словами требуется операций комплексного умножения и сложения.
Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.
Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®?.
Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье (воспользуемся комплексной его формой)
где выражения для коэффициентов имеют вид:
Введем следующее обозначение для частот:
Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :
Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный
Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за, т.е.
и введем это обозначение в (4):
В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции.
Переходя к пределу при T=2l®? к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым (обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.
Это выражение и есть интегральная формула Фурье.
2.2 Формулы преобразования Фурье.
Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух формул:
Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье . В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье . Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2pи знака в показателе экспоненты.
Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).
Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).
Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований. Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно..
Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частотаn, связанная с первой соотношениемw=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:
Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.
- 1) f(t) - ограничена при t?(-?,?);
- 2) f(t) - абсолютно интегрируема на t?(-?,?);
- 3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.
Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.
Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).
- 2.3 Свойства преобразования Фурье.
- 1. Линейность.
Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),
то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.
- 2. Четность.
- 2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.
Доказательство:
Используя определение (6), а также формулу Эйлера получим
- -четная функция.
- 2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция, то F(w)- нечетная мнимая функция.
2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.
Доказательство:
Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле:
3. Подобие
Если f(t)~F(w), то f(at)~.
- 4. Смещение.
- 4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a)~.
Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.
4.2 Если f(t)~F(w), то~.
Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.
- 5. Если f(t)~F(w), то
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
если f(t) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
если F(w) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
- 2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье .
где - прямоугольный импульс
При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.
Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функциястремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.
2 .5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.
На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности, состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.
Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции имеем при.
Таким образом получаем
Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.
2.6 Свертка и ее свойства.
Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.
Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:
Символически будем обозначать этот факт как.
Операция свертки обладает следующими свойствами.
- 1. Коммутативность.
Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’
- 2. Ассоциативность
Доказательство:
- 3. Дистрибутивность
Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.
Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту nвместоw, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.
2.7 Теоремы о свертке
Первая теорема о свертке .
Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований
Доказательство:
Пусть, тогда. Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:
В терминах угловой частоты wэта теорема имеет менее универсальный вид
Вторая теорема о свертке.
Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.
Доказательство:
Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса
По условию f(t)=0 приt<-T и приt>T. Аналогично, f(t-t)=0 при
t-t<-T и при t-t>T, т.е. приt>t+T и приt при -2T Объединяя оба случая, получим выражение для свертки: Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс (иногда эту функцию называют L-функцией). Пользуясь теоремой о свертке, можно легко получить преобразование Фурье L-функции На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Найти свертку функций f(t) и g(t) т.к. f(t)=0 приt<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t). где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-?,?). Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции. Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии. Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t). Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала: Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как. Полная энергия сигнала вычисляется по формуле Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство: Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”. Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим: Выясним математический смысл теоремы Парсеваля. С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величинаназывается нормой функции f(t) и обозначается как. Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е. Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как: Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции Плотность кросс-спектрасигналов f(t) и g(t) равна Фурье- образу корреляционной функции. Оба утверждения можно объединить в одно: Спектральная плотность равна преобразованию Фурье корреляционной функции. Доказательство будет дано позже после введения понятия обобщенной функции. Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров. 1. Линейность.
Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. a n s n (t) Û a n S n (w). (4.21) Пример суммирования сигналов и его отображения в спектральной области на рис. 4.18. Рис. 4.18. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û
S1(w)+S2(w) = S0(w) 2. Свойства симметрии
преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований. На рис. 4.19. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала. Произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения. Рис. 4.19. Свойства четности преобразования
3. Изменение аргумента функции
(сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Так, если s(t) Û S(w), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем: s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a)s(x)exp(-jxw/a) dx s(at) Û (1/a) S(w/a). (4.22") Выражение (4.22") действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра: s(at) Û -(1/a) S(w/a). (4.22"") Обобщенная формула изменения аргумента: s(at) Û (1/|a|) S(w/a), a ≠ 0 (4.22) Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 4.18. для сигналов s1(k) и s2(k) и их спектров S1(w) и S2(w). От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t=1 секунда, масштаб оси частот f=1/t=1 герц, а при t=1 мксек f=1/t=1 МГц (t=at, f=1/at, a=10 -6).
4. Теорема запаздывания.
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -wt o . Применяя замену переменной t-t o = x, получаем: s(t-t o)Ûs(t-t o)exp(-jwt) dt = S(x)exp(-jwx)exp(-jwt o) dx = S(w)exp(-jwt o). (4.23) Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не должны. С учетом того, что |exp(-jwt o)|=1, это следует и из (4.23): |S(w) exp(-jwt o)| = |S(w)|. Фазовый спектр сдвигается на -wt o с линейной зависимостью от частоты: S(w) exp(-jwt o)= R(w) expexp(-jwt o)= R(w) exp. (4.24) Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на t o =1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 4.20. Рис. 4.20. Изменение спектра сигнала при его сдвиге Аналогично нетрудно показать, что сдвиг спектра в частотной области на w 0 вызывает умножение сигнала на exp(jw 0 t): S(w - w 0) « s(t) exp(jw 0 t), что эквивалентно модуляции сигнала функцией комплексной экспоненты во временной области.
5. Преобразование производной
(дифференцирование сигнала):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(w) dw = Jw Y(w) exp(jwt) dw Û jw Y(w). (4.25) Дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области
jw, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jw приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой. Рис. 4.21. Спектры сигнала и его производной Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 4.21. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на p/2 (90 0) для положительных частот, и на -p/2 (-90 0) для отрицательных частот. В общем случае, для кратных производных: d n /dt n = (jw) n Y(w). (4.26) При дифференцировании спектра функции соответственно получаем: d n /dw n = (-jt) n s(t). 6. Преобразование интеграла
сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d/dt Û jw Y(w) = S(w), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Û Y(w) = S(w)/jw. Отсюда следует: s(t)dt Û (1/jw)S(w). (4.27) Оператор интегрирования в частотной области
(1/jw) при w>1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведен на рис. 4.22. Рис. 4.22. Сигналы и амплитудные спектры сигналов Формула (4.27) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С=const в правой части выражения (4.27) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С: 7. Преобразование свертки
сигналов y(t) = s(t) * h(t): Y(w) =y(t) exp(-jwt) dt =s(t) h(t-t) exp(-jwt) dtdt. Y(w) =s(t) dth(t-t) exp(-jwt) dt. По теореме запаздывания (4.23): h(t-t) exp(-jwt) dt = H(w) exp(-jwt). Y(w) =H(w) s(t) exp(-jwt) dt = H(w)·S(w). s(t) * h(t) Û S(w) H(w). (4.28) Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 4.23. Рис. 4.23. Сигналы и амплитудные спектры сигналов Отметим, что частотное представление H(w) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H(w) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы. Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций.
Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных. Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует определенную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s(t) с оператором системы h(t). С использованием преобразования свертки эта операция может производиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом обработка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной области, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной области. Она представляет собой последовательность следующих операций. 1. Перевод сигнала в частотную область: s(t) Û S(w). 2. Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы: Y(w) = H(w)·S(w). Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h(t) Û H(w) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h(t) с бесконечной импульсной характеристикой. 3. Перевод спектра обработанного сигнала во временную область: Y(w) Û y(t).
8. Преобразование произведения
сигналов y(t) = s(t)·h(t): Y(w) =s(t) h(t) exp(-jwt) dt =s(t) [(1/2p)H(w") exp(jw"t) dw"] dt = = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29) Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций,
с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.
9. Производная свертки
двух функций s"(t) = d/dt. С использованием выражений (4.26) и (4.28), получаем: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (например, гауссиана).
10. Спектры мощности.
Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2 . Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s * (t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S * (f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S * (f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2 . (4.31) Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов: W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f). Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re - четная функция, а Im - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра: X(f) Y*(f) df. Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2 . Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p. Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые. Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы: Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл , комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций , плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака . Не знаете - не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение” Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье - это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w): Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье - такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика: График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля - “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ). Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные - перемножаются. Первое выполняется легко, а второе - сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом - все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20. Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим:). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе. Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся - списком из семи пунктов справа: Первое из этих свойств - линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2: Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике - это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины. Второе свойство преобразования Фурье - это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр. Третье свойство - растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности. Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот - поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно. Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi...pi) - нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра - для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является). Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии - остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является). Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”: Гребенка Дирака - это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Вместо непрерывной функции после подобного перемножения получается последовательность дельта-импульсов определенной высоты. При этом согласно свойству 5 преобразования Фурье, спектр получившегося дискретного сигнала есть свертка исходного спектра с соответствующей гребенкой Дирака. Несложно понять, что исходя из свойств свертки, спектр исходного сигнала при этом как бы “копируется” бесконечное число раз вдоль оси частот с шагом 1/T, а затем суммируется. Заметим, что если исходный спектр имел конечную ширину и мы использовали достаточно большую частоту дискретизации, то копии исходного спектра не будут перекрываться, а следовательно и суммироваться друг с другом. Несложно понять что по подобному “свернутому” спектру будет легко восстановить исходный - достаточно будет просто взять компоненту спектра в районе нуля, “обрезав” лишние копии уходящие на бесконечность. Простейший способ это сделать - это домножить спектр на прямоугольную функцию, равную T в диапазоне -1/2T...1/2T и нулю - вне этого диапазона. Подобный Фурье-образ соответствует функции sinc (Tx) и согласно свойству 4, подобное умножение равнозначно свертке исходной последовательности дельта-функций с функцией sinc(Tx) То есть с помощью преобразования Фурье мы получили способ легко восстановить исходный сигнал из дискретизированного по времени, работающий при условии что мы используем частоту дискретизации, по крайней мере вдвое (из-за наличия в спектре отрицательных частот) превышающую максимальную частоту присутствующую в исходном сигнале. Этот результат широко известен и называется “теорема Котельникова / Шеннона-Найквиста” . Однако, как несложно теперь (понимая доказательство) заметить, этот результат вопреки широко распространенному заблуждению определяет достаточное
, но не необходимое
условие для восстановления исходного сигнала. Все что нам требуется - это добиться того, чтобы интересующая нас часть спектра после дискретизации сигнала не накладывалась друг на друга и если сигнал достаточно узкополосный (имеет малую “ширину” ненулевой части спектра), то этого результата часто можно добиться и при частоте дискретизации намного ниже чем удвоенная максимальная частота сигнале. Подобная техника называется “undersampling” (субдискретизация, полосовая дискретизация) и довольно широко используется при обработке всевозможных радиосигналов. Например, если мы берем FM-радио действующее в полосе частот от 88 до 108 МГц, то для его оцифровки можно использовать АЦП с частотой всего 43.5 МГц вместо предполагающихся по теореме Котельникова 216 МГц. При этом, правда, понадобится качественный АЦП и хороший фильтр. Замечу, что “дублирование” высоких частот частотами меньших порядков (алиасинг) - непосредственное свойство дискретизации сигнала, необратимо “портящее” результат. Поэтому если в сигнале в принципе могут присутствовать частоты высокого порядка (то есть практически всегда) перед АЦП ставят аналоговый фильтр, “отсекающий” все лишнее непосредственно в исходном сигнале (так как после дискретизации делать это уже будет поздно). Характеристики этих фильтров, как аналоговых устройств, неидеальны, поэтому некоторая “порча” сигнала при этом все равно происходит, и на практике из этого следует что наибольшие частоты в спектре, как правило, недостоверны. Чтобы уменьшить эту проблему, сигнал нередко сэмплируют с завышенной частотой дискретизации, ставя при этом входной аналоговый фильтр на меньшую полосу пропускания и используя только нижнюю часть теоретически доступного частотного диапазона АЦП. Еще одно распространенное заблуждение, кстати, - это когда сигнал на выходе ЦАП рисуют “ступеньками”. “Ступеньки” соответствуют свертке дискретизированной последовательности сигналов с прямоугольной функцией ширины T и высоты 1: Спектр сигнала при таком преобразовании умножается на фурье-образ этой прямоугольной функции, а у подобной прямоугольной функции это снова sinc(w), “растянутый” тем сильнее, чем меньше ширина соответствующего прямоугольника. Спектр дискретизированного сигнала при подобном “ЦАП” поточечно умножается на этот спектр. При этом ненужные высокие частоты с “лишними копиями” спектра обрезаются не полностью, а верхняя часть “полезной” части спектра, напротив, ослабляется. На практике так, естественно, никто не делает. Существует много разных подходов к построению ЦАП, но даже в наиболее близких по смыслу ЦАП взвешивающего типа прямоугольные импульсы в ЦАП напротив выбираются по возможности короткими (приближающимися к настоящей последовательности дельта-функций) чтобы избежать излишнего подавления полезной части спектра. “Лишние” частоты в получившемся широкополосном сигнале практически всегда гасят, пропуская сигнал через аналоговый фильтр низких частот, так что «цифровых ступенек» нет ни «внутри» преобразователя, ни, тем более, на его выходе. Однако вернемся обратно к преобразованию Фурье. Описанное выше преобразование Фурье, примененное к заранее дискретизированной последовательности сигналов называется преобразованием Фурье дискретного времени (DTFT). Спектр получаемый подобным преобразованием всегда 1/T-периодичен, поэтому спектр DTFT полностью определяется её значениями на отрезке dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?). Произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций.
9. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс.
10. Спектры мощности. Если функция s(t) имеет фурье-образ S(?), то спектральная плотность мощности данной функции определяется выражениями:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?). Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. математический метод преобразование фурье 11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:
E s =W(f)df=|S(f)| 2 df. Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля: |s(t)| 2 dt =|S(f)| 2 df, т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала.
Loading...