Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.
Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.
Импульс силы равен изменению импульса тела:
Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:
Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:
Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.
Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:
Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:
Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
- Как связаны импульс тела с импульсом силы?
- Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?
- Интернет-портал Questions-physics.ru ().
- Интернет-портал Frutmrut.ru ().
- Интернет-портал Fizmat.by ().
В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .
Импульс тела
Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .
С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».
Любое тело, которое движется, обладает импульсом.
Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.
Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.
Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.
Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.
Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек
То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.
Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).
Импульс силы
В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .
Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона
Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.
Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .
Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.
Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.
Импульс силы – это также векторная величина.
Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.
Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.
Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.
Импульс силы для первого тела равен
Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, для второго тела импульс силы равен
Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:
где m 1 и m 2 – массы тел,
v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,
v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.
p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;
p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;
p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;
p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;
То есть
p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "
В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.
Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.
При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.
Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .
Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.
Реактивное движение
Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.
Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.
Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.
Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.
На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.
Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.
До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.
где - масса ракеты
Скорость истечени газа
Изменение скорости ракеты
∆ m f - расход массы топлива
Предположим, ракета работала в течение времени t .
Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение
По второму закону Ньютона реактивная сила равна
Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.
Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.
Импульс в физике
В переводе с латинского «импульс» означает «толчок». Эту физическую величину называют также «количеством движения». Она была введена в науку примерно в то же время, когда были открыты законы Ньютона (в конце XVII века).
Разделом физики, изучающим движение и взаимодействие материальных тел, является механика. Импульс в механике – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p=mv. Направления векторов импульса и скорости всегда совпадают.
В системе СИ за единицу импульса принимают импульс тела массой 1 кг, которое движется со скоростью 1 м/с. Поэтому единица импульса в СИ – это 1 кг∙м/с.
В расчетных задачах рассматривают проекции векторов скорости и импульса на какую-либо ось и используют уравнения для этих проекций: к примеру, если выбрана ось x, тогда рассматривают проекции v(x) и p(x). По определению импульса, эти величины связаны соотношением: p(x)=mv(x).
В зависимости от того, какая выбрана ось и куда она направлена, проекция вектора импульса на нее может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Закон сохранения импульса
Импульсы материальных тел при их физическом взаимодействии могут меняться. Например, при столкновении двух шариков, подвешенных на нитях, их импульсы взаимно изменяются: один шарик может прийти в движение из неподвижного состояния или увеличить свою скорость, а другой, наоборот, уменьшить скорость или остановиться. Однако в замкнутой системе, т.е. когда тела взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил, векторная сумма импульсов этих тел остается постоянной при любых их взаимодействиях и движениях. В этом заключается закон сохранения импульса. Математически его можно вывести из законов Ньютона.
Закон сохранения импульса применим также к таким системам, где какие-то внешние силы действуют на тела, но их векторная сумма равна нулю (например, сила тяжести уравновешивается силой упругости поверхности). Условно такую систему тоже можно считать замкнутой.
В математической форме закон сохранения импульса записывается так: p1+p2+…+p(n)=p1’+p2’+…+p(n)’ (импульсы p – векторы). Для системы из двух тел это уравнение выглядит как p1+p2=p1’+p2’, или m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’. К примеру, в рассмотренном случае с шариками суммарный импульс обоих шаров до взаимодействия будет равен суммарному импульсу после взаимодействия.
1. Как вам известно, результат действия силы зависит от ее модуля, точки приложения и направления. Действительно, чем больше сила, действующая на тело, тем большее ускорение оно приобретает. От направления силы зависит и направление ускорения. Так, приложив небольшую силу к ручке, мы легко открываем дверь, если ту же силу приложить около петель, на которых висит дверь, то ее можно и не открыть.
Опыты и наблюдения свидетельствуют о том, что результат действия силы (взаимодействия) зависит не только от модуля силы, но и от времени ее действия. Проделаем опыт. К штативу на нити подвесим груз, к которому снизу привязана еще одна нить (рис. 59). Если за нижнюю нить резко дернуть, то она оборвется, а груз останется висеть на верхней нити. Если же теперь медленно потянуть за нижнюю нить, то оборвется верхняя нить.
Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению силы на время ее действия Ft .
Единица импульса силы в СИ - ньютон‑секунда (1 Н с ): [Ft ] = 1 Н с.
Вектор импульса силы совпадает по направлению с вектором силы.
2. Вы также знаете, что результат действия силы зависит от массы тела, на которое эта сила действует. Так, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при действии одной и той же силы.
Рассмотрим пример. Представим себе, что на рельсах стоит груженая платформа. С ней сталкивается движущийся с некоторой скоростью вагон. В результате столкновения платформа приобретет ускорение и переместится на некоторое расстояние. Если же движущийся с той же скоростью вагон столкнется с легкой вагонеткой, то она в результате взаимодействия переместится на существенно большее расстояние, чем груженая платформа.
Другой пример. Предположим, что к мишени подлетает пуля со скоростью 2 м/ с. Пуля, вероятнее всего, отскочит от мишени, оставив на ней лишь небольшую вмятину. Если же пуля будет лететь со скоростью 100 м/с, то она пробьет мишень.
Таким образом, результат взаимодействия тел зависит от их массы и скорости движения.
Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела и его скорости.
|
p = m v . |
Единица импульса тела в СИ - килограмм-метр в секунду (1 кг м/с): [p ] = [m ][v ] = 1 кг 1м/ с = 1 кг м/с.
Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости.
Импульс - величина относительная, его значение зависит от выбора системы отсчета. Это и понятно, поскольку относительной величиной является скорость.
3. Выясним, как связаны импульс силы и импульс тела.
По второму закону Ньютона:
F = ma .
Подставив в эту формулу выражение для ускорения a = , получим:
F
= , или
Ft
= mv
– mv
0 .
В левой части равенства стоит импульс силы; в правой части равенства - разность конечного и начального импульсов тела,т. е. изменение импульса тела.
Таким образом,
импульс силы равен изменению импульса тела.
|
Ft = D(m v ). |
Это иная формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал его Ньютон.
4. Предположим, что сталкиваются два шарика движущиеся по столу. Любые взаимодействующие тела, в данном случае шарики, образуют систему . Между телами системы действуют силы: сила действия F 1 и сила противодействия F 2 . При этом сила действия F 1 по третьему закону Ньютона равна силе противодействия F 2 и направлена противоположно ей: F 1 = –F 2 .
Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называют внутренними силами.
Помимо внутренних сил, на тела системы действуют внешние силы. Так, взаимодействующие шарики притягиваются к Земле, на них действует сила реакции опоры. Эти силы являются в данном случае внешними силами. Во время движения на шарики действуют сила сопротивления воздуха и сила трения. Они тоже являются внешними силами по отношению к системе, которая в данном случае состоит из двух шариков.
Внешними силами называют силы, которые действуют на тела системы со стороны других тел.
Будем рассматривать такую систему тел, на которую не действуют внешние силы.
Замкнутой системой называют систему тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами.
В замкнутой системе действуют только внутренние силы.
5. Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему. Масса первого тела m 1 , его скорость до взаимодействия v 01 , после взаимодействия v 1 . Масса второго тела m 2 , его скорость до взаимодействия v 02 , после взаимодействия v 2 .
Силы, с которыми взаимодействуют тела, по третьему закону:F 1 = –F 2 . Время действия сил одно и то же, поэтому
F 1 t = –F 2 t .
Для каждого тела запишем второй закон Ньютона:
F 1 t = m 1 v 1 – m 1 v 01 , F 2 t = m 2 v 2 – m 2 v 02 .
Поскольку левые части равенств равны, то равны и их правые части, т. е.
m 1 v 1 – m 1 v 01 = –(m 2 v 2 – m 2 v 02).
Преобразовав это равенство, получим:
|
m 1 v 01 + m 1 v 02 = m 2 v 1 + m 2 v 2 . |
В левой части равенства стоит сумма импульсов тел до взаимодействия, в правой - сумма импульсов тел после взаимодействия. Как видно из этого равенства, импульс каждого тела при взаимодействии изменился, а сумма импульсов осталась неизменной.
Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы.
В этом состоит закон сохранения импульса .
6. Замкнутая система тел - это модель реальной системы. В природе нет таких систем, на которые не действовали бы внешние силы. Однако в ряде случаев системы взаимодействующих тел можно рассматривать как замкнутые. Это возможно в следующих случаях: внутренние силы много больше внешних сил, время взаимодействия мало, внешние силы компенсируют друг друга. Кроме того, может быть равна нулю проекция внешних сил на какое‑либо направление и тогда закон сохранения импульса выполняется для проекций импульсов взаимодействующих тел на это направление.
7. Пример решения задачи
Две железнодорожные платформы движутся навстречу друг другу со скоростями 0,3 и 0,2 м/с. Массы платформ соответственно равны 16 и 48 т. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться платформы после автосцепки?
|
Дано : |
СИ |
Решение |
|
v 01 = 0,3 м/с v 02 = 0,2 м/с m 1 = 16 т m 2 = 48 т v 1 = v 2 = v |
v 02 = v 02 = 1,6104кг 4,8104кг |
Изобразим на рисунке направление движения платформ до и после взаимодействия (рис. 60). Силы тяжести, действующие на платформы, и силы реакции опоры коммпенсируют друг друга. Систему из двух платформ можно считать замкнутой |
|
vx ? |
и применить к ней закон сохранения импульса.
m 1 v 01 + m 2 v 02 = (m 1 + m 2)v .
В проекциях на ось X можно записать:
m 1 v 01x + m 2 v 02x = (m 1 + m 2)v x .
Так как v 01x = v 01 ; v 02x = –v 02 ; v x = –v , то m 1 v 01 – m 2 v 02 = –(m 1 + m 2)v.
Откуда v = – .
v = – = 0,75 м/с.
После сцепки платформы будут двигаться в ту сторону, в которую до взаимодействия двигалась платформа с большей массой.
Ответ: v = 0,75 м/с; направлена в сторону движения тележки с большей массой.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют импульсом тела?
2. Что называют импульсом силы?
3. Как связаны импульс силы и изменение импульса тела?
4. Какую систему тел называют замкнутой?
5. Сформулируйте закон сохранения импульса.
6. Каковы границы применимости закона сохранения импульса?
Задание 17
1. Чему равен импульс тела массой 5 кг, движущегося со скоростью 20 м/с?
2. Определите изменение импульса тела массой 3 кг за 5 с под действием силы 20 Н.
3. Определите импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчета, связанной: а) с неподвижным относительно Земли автомобилем; б) с автомобилем, движущимся в ту же сторону с такой же скоростью; в) с автомобилем, движущимся с такой же скоростью, но в противоположную сторону.
4. Мальчик массой 50 кг спрыгнул с неподвижной лодки массой 100 кг, расположенной в воде около берега. С какой скоростью отъехала лодка от берега, если скорость мальчика направлена горизонтально и равна 1 м/с?
5. Снаряд массой 5 кг, летевший горизонтально, разрывался на два осколка. Какова скорость снаряда, если осколок массой 2 кг при разрыве приобрел скорость 50 м/с, а второй массой 3 кг - 40 м/с? Скорости осколков направлены горизонтально.
Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные в физике приводятся в данной статье.
Импульс или количество движения?
Прежде чем приводить формулы импульса тела в физике, познакомимся с этим понятием. Впервые величину под названием impeto (импульс) использовал в описании своих трудов Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон для нее употребил другое название - motus (движение). Поскольку фигура Ньютона оказала большее влияние на развитие классической физики, чем личность Галилея, изначально принято говорить не об импульсе тела, а о количестве движения.
Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:
Здесь p¯ - вектор, направление которого совпадает с v¯, но модуль в m раз больше, чем модуль v¯.
Изменение величины p¯
Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:
Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:
Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:
Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.
Заметим, что dp¯ - это тоже но направлена она в отличие от p¯ не как скорость v¯, а как сила F¯.
Ярким примером изменения вектора количества движения (импульса) является ситуация, когда футболист бьет по мячу. До удара мяч двигался к футболисту, после удара - от него.
Закон сохранения импульса
Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.
Обратимся к выражению из предыдущего пункта:
Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:
Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:
- Импульс сохраняется вдоль каждой координаты, то есть если до некоторого события значение p x системы составляло 2 кг*м/c, то после этого события оно будет таким же.
- Импульс сохраняется независимо от характера столкновений твердых тел в системе. Известно два идеальных случая таких столкновений: абсолютно упругий и абсолютно пластичный удары. В первом случае сохраняется также кинетическая энергия, во втором часть ее расходуется на пластическую деформацию тел, однако импульс сохраняется все равно.
Упругое и неупругое взаимодействие двух тел
Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.
Если удар будет абсолютно упругим, то есть передача импульса от одного тела к другому осуществляется посредством упругой деформации, тогда формула сохранения p запишется так:
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2
Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m 1 , v 1 , m 2 , v 2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u 1 , u 2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:
m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2
Если удар абсолютно неупругий или пластический, то после столкновения два тела начинают двигаться как единое целое. В этом случае имеет место выражение:
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u
Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.
Импульс тела во время движения по окружности
Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:
Здесь r¯ - вектор, равный расстоянию от оси вращения до частицы с импульсом p¯, совершающей круговые движения вокруг этой оси. Величина L¯ - это тоже вектор, но рассчитать его несколько сложнее, чем p¯, поскольку речь идет о векторном произведении.
Закон сохранения L¯
Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:
Здесь I - это момент инерции (для материальной точки он равен m*r 2), который описывает инерционные свойства вращающегося объекта, ω¯ - скорость угловая. Как можно заметить, это уравнение аналогично по форме записи такового для линейного импульса p¯.
Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:
Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.
Loading...