Теория вероятностей. Случайный эксперимент

Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным . (Пример: подброшенный вверх камень обязательно упадет вниз. Повышение жизненного уровня вызывает рост потребления товаров. Поломка системного блока выводит из строя компьютер.)

Эксперимент считается случайным , если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно. ТВ исследует именно случайные эксперименты, вернее модели экспериментов со случайными исходами . При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Будем рассматривать событие как результат испытания. Примеры:1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько частей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие. 2. Извлечение шара из урны – испытание, появление шара определенного цвета – событие. 3. Сдача экзамена – испытание (случайный эксперимент), получение оценки – событие.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике

И математической статистике.. Для специальности Управление информационными.. ресурсами..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует

Пространство элементарных событий
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий События

Совместные и несовместные события
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д

Свойства операций над событиями
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

Алгебра и сигма-алгебра событий
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если, то
Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Во многих случаях более удобным ока

Геометрические вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос

Аксиоматическое построение теории вероятностей
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб

Полная группа событий
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество

Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Вероятность события, вычи

Формула сложения вероятностей
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий
. Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и нез

Формула полной вероятности
Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий

Формула Байеса
Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ

Правила суммы и произведения
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди

Понятие потока событий
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью

Событий с использованием функций и плотностей распределения
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одн

Закон распределения дискретной случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()

Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо

Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения. 1. Функция распределения принимает значения из промежутка

Свойства плотности распределения вероятностей
1. Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то е

Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х

Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций,

Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл

Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия
Закон распределения случайной величины числа появлений события в схеме Бернулли име

Распределение Пуассона
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п

Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения

Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:

Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется

Нормальное распределение и его свойства
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами

Свойства функции Гаусса
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса. Исследуем поведение функции плотности вероятности

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках это

Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм»
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математичес

Многомерные случайные величины
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар

Совместная функция распределения двух случайных величин
Функция, определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству: . 2.

Непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей

Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи

Свойства коэффициента корреляции
1. 2. Если, то

Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем

Теорема Чебышева
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был

Центральная предельная теорема
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.

Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности
Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-ли

Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: · Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось

Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы. Полигоном частот

Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы

Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п

Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним

Надежность и доверительный интервал
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неи

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Тре

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему к

Проверка статистических гипотез
На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статис

Критические точки
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот

Критерий согласия Пирсона о виде распределения
Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую г

(УИР). Понятие о регрессионном анализе
Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимос

Понятие о регрессионном анализе
При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н

Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо

Показательная модель
Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос

(УИР). Понятие о корреляционном анализе
Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон

А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в каче

Оценка значимости уравнения регрессии в целом
Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф

Оценка значимости отдельных параметров регрессии
По каждому из параметров определяется его стандартная ошибка. Стандартная ошибка линейного коэффициента регрессии о

Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен

(УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в

Однородные цепи Маркова
Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния

Переходные вероятности. Матрица перехода
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния

Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния

Цепи Маркова с непрерывным временем
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные

Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний. В случае марковской

Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при

Системы массового обслуживания
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО). Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи

А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен

Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что данная система (очередь + обслужив

Многоканальные модели
Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами. В многоканальных

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

Результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям:

Наблюдаемый результат.

- относительная частота реализаций эксперимента .

Точное описание природы случайного эксперимента влечет определение элементарных исходов , случайных событий и их вероятности , случайных величин и т. п.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Случайный эксперимент" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Эксперимент (значения). Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия

Эрвин Шрёдингер Кот Шрёдингера (кошка Шрёдингера) герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим … Википедия

Эксперимент - (лат. experimentum опыт, доказательство) 1) следственный, самостоятельное следственное действие. Состоит в воспроизведении обстановки и иных обстоятельств определенного события и совершении необходимых опытных действий в целях проверки… … Криминалистическая энциклопедия

ЭКСПЕРИМЕНТ в социальных дисциплинах - один из методов эмпирических исследований, применяемый с целью исследования причинных связей или проверки гипотезы. Он является основой так называемых каузальных исследований. История Э. начинается с работ Дж.С. Милля. Милль исходил из того, что … Социология: Энциклопедия

Заданное множество, конечное или бесконечное. Любой случайный эксперимент можно интерпретировать как случайный выбор индивидуума из бесконечной Г. с. При статистическом изучении из Г. с., характеризуемой функцией распределения вероятностей,… … Геологическая энциклопедия

Случайное событие подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в… … Википедия

Функция вероятности … Википедия

Парадокс Эйнштейна Подольского Розена (ЭПР парадокс) попытка указания на неполноту квантовой механики с помощью мысленного эксперимента, заключающегося в измерении параметров микрообъекта косвенным образом, не оказывая на этот… … Википедия

ГОСТ 24026-80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения - Терминология ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения оригинал документа: 34. Адекватность математической модели Адекватность модели Соответствие математической модели экспериментальным данным… …

РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов - Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Определение 1. Случайный эксперимент – это четко описанная последовательность действий, которая может быть воспроизведена сколько угодно раз, но исход исполнения которой не может быть предсказан с уверенностью. Невозможность точно угадать исход эксперимента вызвана большим количеством неконтролируемых нами факторов. Все исходы эксперимента обозначаются буквой .

Определение 2. Случайное событие – это любое подмножество всех возможных исходов случайного эксперимента .

Пример (случайного эксперимента):

1. Посмотреть на экран биржевого терминала, чтобы узнать последнюю котировку ликвидной акции, например, акции РАО “ЕЭС” как исход эксперимента.
2. Подбросить игральный кубик и посмотреть на исход эксперимента – количество выпавших очков.

Пример (случайного события):

1. Случайное событие А = – увидеть, посмотрев на экран биржевого монитора, котировку акции РАО “ЕЭС” в этом диапазоне.
2. Случайное событие В = {2, 3} – увидеть, посмотрев на упавшую кость, одну из этих цифр.

Сохранена оригинальная нумерация задачника ФКЦБ, предоставленного Биржевой школой. Ей не следует придавать значения – она сохранена для удобства лиц, готовящихся к сдаче экзамена на специалиста по ценным бумагам.

1.4.1.11 Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками:
I Наблюдается однократно
II Может наблюдаться неоднократно
III Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет
IV При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет

А) Верно только I и IV
*Б) Верно только II и III
В) Верно только II, III или IV
Г) Верно только III

Решение . Из определений 1, 2 очевидно, что верными высказываниями являются только IIи III, т.е. правильный ответ - Б.

Определение 3 . Все исходы эксперимента - это некоторое множество точек произвольной природы, называемое достоверным событием , т.к. при проведении случайного эксперимента какой-либо исход эксперимента обязательно произойдет.

Определение 4 . Невозможное событие – это то, в котором нет ни одного исхода эксперимента, и которое, следовательно, не может появиться в ходе эксперимента.

Достоверное событие в учебных целях изображаем кругом.

Определение 5 . Тогда случайное событие А – некоторая его подобласть, а дополнительным событием (или отрицанием к А ) к событию А называется множество “не А” – это все точки из из , не входящие в А (т.е. А и “не А” не пересекаются, а вместе составляют все ).

Определение 6. “Сумма” или “объединение” или событие “А или В” – то множество, что вбирает в себя все точки обоих множеств и только их

Определение 7. “Произведение” или “пересечение” или событие “А и В” – то множество, что вбирает в себя только те точки, что входят как в множество А, так и в множество В. Если такие общие точки отсутствуют, то есть произведение событий А и В является невозможным событием, то события А и В называются несовместными.

Замечание. В частности, ясно, что произведением событий А и “не А” является невозможное событие, т.к. у этих множеств по определению нет общих точек.

1.4.1.15.1 Чему будет равно произведение случайного события и события, дополнительного к данному событию

А) Достоверному событию
*Б) Невозможному событию
В) Самому событию

Решение. Из замечания к определению 7 следует, что правильным ответом является Б.

1.4.1.15.2 Чему будет равна сумма случайного события и события, дополнительного к данному событию

*А) Достоверному событию
Б) Невозможному событию
В) Дополнительному событию

Решение. Из определения 5 следует, что правильным ответом является А.

1.4.1.13.1 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное произведению событий А и В?

А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
*Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение. Из определения 7 следует, что сказать “произведение событий А и В” – все равно, что сказать “событие А и В”, т.е. правильный ответ – Б.

1.4.1.13.2 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное сумме событий А и В?

*А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение . Из определения 6 следует, что сказать “сумма событий А и В” – все равно, что сказать “событие А или В”, т.е. правильный ответ – А.

1.4.1.13.3 Случайное событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. Из перечисленных ниже укажите случайные события, дополнительные к случайному событию А
I Курс акций компании на завтрашних торгах будет равен 26 руб.
II Курс акций компании на завтрашних торгах будет не выше 26 руб.
III Курс акций компании на завтрашних торгах превысит 26 руб.

А) Только I
Б) Только II
В) Только I и III
*Г) Ничего из перечисленного выше

Решение. Нередко проще самому написать правильный ответ, а затем посмотреть под какой буквой дан правильный ответ.

В символах школьной математики наше событие А = {курс акций на завтрашних торгах будет не ниже 25 рублей} =

D = (26, +¥)

Ясно, что ни одно из этих событий B, C, Dне совпадает с событием “не А ” = и обозначают его следующим образом Р В (А ) или Р (А В ), то есть:
Р В (А )= Р (А В )=[ Р (А  В ) ⁄ Р (В )] . При этом 0 ≤ Р В (А ) ≤ 1, т.к. (А  В ) ⊆ В и Р (В )>0 .

1. 
   Независимость событий.

События А и В независимы, если Р (А  В ) = Р (А ) · Р (В ).

Три события независимы в совокупности, если:
а) каждые два из них независимы, и
б) объединение каждых двух событий независимо с третьим событием.

Аналогично распространяется понятие независимости в совокупности на большее число событий.

1. 
   Полная группа событий.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… таковы, что их объединение (Н 1  Н 2 …Н к …)=Ω и они попарно несовместны (не пересекаются), (Н i Н j = Ø), то эти события образуют полную группу событий.

1. 
   Формула полной вероятности.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула полной вероятности :

Р (А )) = ∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )].

Вероятность события можно вычислять как взвешенную сумму условных вероятностей этого события при условии, что происходили события из полной группы событий, где в качестве весовых коэффициентов берутся вероятности соответствующих событий из полной группы.

1. 
   Формула Байеса.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула Байеса для пересчета вероятностей событий образующих полную группу по результатам испытания, в котором реализовалось событие А.

Р А (Н к ) = (Р (А  Н к )) ⁄ (Р (А )) = (Р (А  Н к )) ⁄ (∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )]).

1. 
   Типовые модели случайного эксперимента.

В (p ). Модель Бернулли с параметром p , испытание Бернулли с параметром p , 0 ≤ p ≤1.
Эксперимент с двумя альтернативными событиями - исходами У (успех) и Н (неудача).
Р (У) = p , Р (Н) = q = 1 p .

У(2) . Простейшая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна модели Бернулли В (½).

У(n ) илиR (n ). Классическая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с n перенумерованными шарами. Элементарный исход – элементарное событие – номер извлеченного шара. Классическая вероятность с равномерным распределением вероятностей элементарных событий.

У(n ; m ) . Урновая модель.
Извлечение шара из урны с m белыми и (n – m ) черными шарами.
Модель эквивалентна модели Бернулли В (m / n ).

1. 
   Последовательность случайных экспериментов.

В (n ; p ). Биномиальная модель . n последовательныхнезависимых испытаний Бернулли с параметром p .

У (n *n ). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с n шарами.

У (2 * 2). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна Биномиальной модели В (2; p ).

У(n *(n -1)). Последовательное извлечение без возвращения двух шаров из урны с n шарами.