Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.
Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.
Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:
Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.
Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:
должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.
Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.
(материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:
где a, b, c - известные целые коэффициенты.
Разберём это всё на знакомом примере:
Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:
Теперь выделим целую часть:
Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 - 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 - 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде
Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.
Продолжаем действовать всё по тому же принципу:
Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:
Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v - произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:
Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых
Решить такое уравнение - это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
При уравнение имеет единственное решение, которое будет: положительным, если или; нулевым, если; отрицательным, если или.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение; найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.
Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решить уравнение (1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых.
Приведём уравнение к простейшему виду:
(9 - k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив в (2) , получим:
Если подставим, то получим так же.
Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).
1. Если, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение, которое будет:
а) положительным, если, при 4 б) нулевым, если; в) отрицательным, если и k>9 с учётом Получаем. 2. Если, то уравнение (2) решений не имеет. Ответ: а) при и, причём х>0 для; x=0 при k=4; x<0 при; б) при уравнение не имеет решений. Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным. Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры: Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b. Так как, по определению модуля, |x-2|, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2. Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b. Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b. Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев: 1. Первый интервал: Второй интервал: Т.е. если а<4, то. Третий интервал: а=4, т.е. если а=4, то. 2. Первый интервал: Второй интервал: a>4,т.е. если 4<а, то Третий интервал: Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 . Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|- a| x - 1| =4. Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке. При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет. При а= - 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке. Если а1, то уравнение имеет один корень х=1. При а=1 решением является любое число, но мы решаем на. Если а1, то х=1. Ответ: при; при а= - 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1. Для начала напомню, что квадратное уравнение - это уравнение вида, где а, b и с - числа, причем, а0. Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения: а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b. б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b. в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней. Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения: 1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного. 2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного. 3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни. Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня. Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения: При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи. Пример2. Решить уравнение При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a. При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1. При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня Ответ: и при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1. Пример3. Корни уравнения таковы, что. Найдите а. По теореме Виета и. Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что, а, получаем: или, . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию. На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков. Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства. Произведение числа a
само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n 1. a 0 = 1 (a ≠ 0) 3. a n a m = a n + m 4. (a n) m = a nm 5. a n b n = (ab) n 7. a n /a m = a n — m Степенные или показательные уравнения
– это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число. Примеры показательных уравнений: В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x
степенью или показателем. Приведем еще примеры показательных уравнений. Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение: 2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3. 2 х = 2 3 Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания
(то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ. Теперь подведем итоги нашего решения. Алгоритм решения показательного уравнения:
Теперь прорешаем несколько примеров: Начнем с простого. Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени. x+2=4 Получилось простейшее уравнение. В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9. 3 3х — 9 х+8 = 0 Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем: Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm . 3 3х = (3 2) х+8 Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16 3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени. 3x=2x+16 получили простейшее уравнение Смотрим следующий пример: 2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm . 4 х = (2 2) х = 2 2х И еще используем одну формулу a n a m = a n + m: 2 2х+4 = 2 2х 2 4 Добавляем в уравнение: 2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24 Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки: 2 2х (2 4 — 10) = 24 Посчитаем выражение в скобках: 2 4 — 10 = 16 — 10 = 6 Все уравнение делим на 6: Представим 4=2 2: 2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени. Решим уравнение: 9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем: Получаем уравнение: Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены
. Число с наименьшей степенью заменяем: Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2 Заменяем в уравнении все степени с иксами на t: t 2 — 12t+27 = 0 Возвращаемся к переменной x
. Берем t 1: Стало быть, 3 х = 9 Один корень нашли. Ищем второй, из t 2: На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим. Вступайте в группуРешение линейных уравнений с модулем
Решение квадратных уравнений с параметром
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
х = 3
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х = (3 2) х = 3 2х
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
t 1 = 9 = 3 х
3 х = 3 2
х 1 = 2
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
Loading...