Для всех и обо всем. Гиперкуб

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале XX века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырехмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на веревке развязать, не прикасаясь к ее концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента. Мистики поместили души усопших в четвертое измерение. Для обычного человека идея четырехмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают четырехмерное пространство плодом воображения ученых и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Проблема восприятия

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Чтобы составить наглядное представление о четырехмерных фигурах, будем использовать аналогии из пространств низшей размерности для экстраполяции на фигуры высшей размерности, пользоваться методом моделирования, применять методы системного анализа для поиска закономерностей между элементами четырехмерных фигур. Предложенные модели должны адекватно описывать свойства четырехмерных фигур, не противоречить друг другу и давать достаточное представление о четырехмерной фигуре и, в первую очередь, о ее геометрической форме. Так как в литературе нет систематического и наглядного описания четырехмерных фигур, а имеются только их названия с указанием некоторых свойств, мы предлагаем начать изучение четырехмерных фигур с самой простой – четырехмерного куба, который называется гиперкубом.

Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трехмерного куба.

Мы будем иметь представление о гиперкубе, если познаем его свойства. Субъект воспринимает некоторый объект, представляя его в виде некоторой модели. Воспользуемся данным методом, и представление о гиперкубе изложим в виде различных моделей.

Аналитическая модель

Будем рассматривать одномерное пространство (прямую линию) как упорядоченное множество точек M (x ), где x – координата произвольной точки прямой. Тогда единичный отрезок задается указанием двух точек: A (0) и B (1).

Плоскость (двумерное пространство) можно рассматривать как упорядоченное множество точек M (x ; y ). Единичный квадрат будет полностью определен его четырьмя вершинами: A (0; 0), B (1; 0), C (1; 1), D (0; 1). Координаты вершин квадрата получены добавлением к координатам отрезка нуля, а потом единицы.

Трехмерное пространство – упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ). Для задания трехмерного куба необходимо восемь точек:

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

E (0; 0; 1), F (1; 0; 1), G (1; 1; 1), H (0; 1; 1).

Координаты куба получены из координат квадрата добавлением нуля, а потом единицы.

Четырехмерное пространство есть упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ; t ). Для задания гиперкуба нужно определить координаты шестнадцати его вершин:

A (0; 0; 0; 0), B (1; 0; 0; 0), C (1; 1; 0; 0), D (0; 1; 0; 0),

E (0; 0; 1; 0), F (1; 0; 1; 0), G (1; 1; 1; 0), H (0; 1; 1; 0),

K (0; 0; 0; 1), L (1; 0; 0; 1), M (1; 1; 0; 1), N (0; 1; 0; 1),

O (0; 0; 1; 1), P (1; 0; 1; 1), R (1; 1; 1; 1), S (0; 1; 1; 1).

Координаты гиперкуба получены из координат трехмерного куба добавлением четвертой координаты, равной нулю, а потом единице.

Используя формулы аналитической геометрии для четырехмерного евклидового пространства, можно получить свойства гиперкуба.
В качестве примера рассмотрим вычисление длины главной диагонали гиперкуба. Пусть требуется найти расстояние между точками A (0, 0, 0, 0) и R (1, 1, 1, 1). Для этого воспользуемся формулой расстояния в четырехмерном евклидовом пространстве.

В двумерном пространстве (на плоскости) расстояние между точками A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2) вычисляется по формуле

Эта формула следует из теоремы Пифагора.

Соответствующая формула расстояния между точками A (x 1 , y 1 , z 1) и B (x 2 , y 2 , z 2) в трехмерном пространстве имеет вид

И в одномерном пространстве (на прямой) между точками A(x 1) и B(x 2) можно записать соответствующую формулу расстояния:

Аналогично расстояние между точками A (x 1 , y 1 , z 1 , t 1) и B (x 2 , y 2 , z 2 , t 2) в четырехмерном пространстве будет вычисляться по формуле:

Для предложенного примера находим

Таким образом, аналитически гиперкуб существует, и его свойства можно описать не хуже, чем свойства трехмерного куба.

Динамическая модель

Аналитическая модель гиперкуба очень абстрактна, поэтому рассмотрим другую модель – динамическую.

Точка (нульмерная фигура), двигаясь в одном направлении, порождает отрезок (одномерную фигуру). Отрезок, двигаясь в направлении перпендикулярно самому себе, создает квадрат (двумерную фигуру). Квадрат, двигаясь в направлении перпендикулярно плоскости квадрата, создает куб (трехмерную фигуру).

Куб, двигаясь перпендикулярно трехмерному пространству, в котором он находился первоначально, порождает гиперкуб (четырехмерную фигуру).

Граница гиперкуба трехмерна, конечна и замкнута. Она состоит из трехмерного куба в начальном положении, трехмерного куба в конечном положении и шести кубов, образованных при движении квадратов исходного куба в направлении четвертого измерения. Вся граница гиперкуба состоит из 8 трехмерных кубов (ячеек).

При движении в первоначальном положении куб имел 8 вершин и в конечном положении также 8 вершин. Следовательно, гиперкуб имеет в общей сложности 16 вершин.

Из каждой вершины исходят по четыре взаимно перпендикулярных ребра. Всего ребер у гиперкуба – 32. В первоначальном положении у него было 12 ребер, в конечном положении также 12 ребер, и 8 ребер образовали вершины куба при движении в четвертом измерении.

Таким образом, граница гиперкуба состоит из 8 кубов, которые состоят из 24 квадратов. А именно, 6 квадратов в исходном положении, 6 – в конечном, и 12 квадратов, образованных при движении 12 ребер в направлении четвертого измерения.

Геометрическая модель

Динамическая модель гиперкуба может показаться недостаточно наглядной. Поэтому рассмотрим геометрическую модель гиперкуба. Как мы получаем геометрическую модель трехмерного куба? Мы делаем его развертку, а из развертки «склеиваем» модель куба. Развертка трехмерного куба состоит из квадрата, к сторонам которого приложено по квадрату плюс еще один квадрат. Примыкающие квадраты поворачиваем вокруг сторон квадрата, а соседние стороны квадратов соединяем друг с другом. А оставшиеся четыре стороны замыкаем последним квадратом (рис. 1).

Аналогично рассмотрим развертку гиперкуба. Его разверткой будет являться трехмерная фигура, состоящая из исходного трехмерного куба, шести кубов, примыкающих к каждой грани исходного куба и еще одного куба. Всего восемь трехмерных кубов (рис. 2). Чтобы из данной развертки получить четырехмерный куб (гиперкуб), нужно повернуть на 90 градусов каждый из прилегающих кубов. Эти прилегающие кубы будут расположены в другом трехмерном пространстве. Соседние грани (квадраты) кубов соединить друг с другом. Вложить восьмой куб гранями в оставшееся незаполненное пространство. Получим четырехмерную фигуру – гиперкуб, граница которого состоит из восьми трехмерных кубов.

Изображение гиперкуба

Выше было показано, как из трехмерной развертки «склеить» модель гиперкуба. Изображения мы получаем с помощью проекции. Центральная проекция трехмерного куба (его изображение на плоскости) выглядит следующим образом (рис. 3). Внутри квадрата находится другой квадрат. Соответствующие вершины квадрата соединены отрезками. Прилегающие квадраты изображены в виде трапеций, хотя в трехмерном пространстве это квадраты. Внутренний и внешний квадраты разных размеров, но в реальном трехмерном пространстве это равные квадраты.

Аналогично центральная проекция четырехмерного куба на трехмерное пространство будет выглядеть так: внутри одного куба находится другой куб. Соответствующие вершины кубов соединены отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырехмерном пространстве это равные кубы (рис. 4).

Шесть усеченных пирамид – это изображения равных шести ячеек (кубов) четырехмерного куба.

Эту трехмерную проекцию можно нарисовать на плоскости и убедиться в истинности свойств гиперкуба, полученных с помощью динамической модели.

Гиперкуб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 грани (квадрата), 8 ячеек (кубов). Из каждой вершины исходят по четыре взаимно-перпендикулярных ребра. Границей гиперкуба является трехмерная замкнутая выпуклая фигура, объем которой (боковой объем гиперкуба) равняется восьми единичным трехмерных кубам. Внутри себя эта фигура содержит единичный гиперкуб, гиперобъем которого равняется гиперобъему единичного гиперкуба.

Заключение

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба.

Мир четырехмерного пространства удивителен! В нем, наряду с похожими фигурами в трехмерном пространстве, существуют и фигуры, аналогов которых нет в трехмерном пространстве.

Многие явления материального мира, макромира и мегамира, несмотря на грандиозные успехи в физике, химии и астрономии, так и остались необъяснимыми.

Нет единой теории, объясняющей все силы природы. Нет удовлетворительной модели Вселенной, объясняющей ее строение и исключающей парадоксы.

Познав свойства четырехмерного пространства и позаимствовав некоторые идеи из четырехмерной геометрии, можно будет не только построить более строгие теории и модели материального мира, но и создать инструменты и системы, функционирующие по законам четырехмерного мира, тогда возможности человека окажутся еще более впечатляющими.

Точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Проекции

На двумерное пространство

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двумерные или трёхмерные пространства . Кроме того, проектирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:

Третья картинка демонстрирует тессеракт в изометрии , относительно точки построения. Это представление представляет интерес при использовании тессеракта как основания для топологической сети, чтобы связать многократные процессоры в параллельных вычислениях.

На трёхмерное пространство

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта - это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта - как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб - на бесконечное количество квадратов, или квадрат - на бесконечное число отрезков.

Ещё одна интересная проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой ромбододекаэдр с проведёнными четырьмя его диагоналями, соединяющими пары противоположных вершин при больших углах ромбов. При этом 14 из 16 вершин тессеракта проецируются в 14 вершин ромбододекаэдра , а проекции 2 оставшихся совпадают в его центре. В такой проекции на трёхмерное пространство сохраняются равенство и параллельность всех одномерных, двухмерных и трёхмерных сторон.

Стереопара

Стереопара тессеракта изображается как две проекции на трёхмерное пространство. Такое изображение тессеракта разрабатывалось с целью представить глубину, как четвёртое измерение. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину тессеракта.

Развёртка тессеракта

Поверхность тессеракта может быть развёрнута в восемь кубов (аналогично тому, как поверхность куба может быть развёрнута в шесть квадратов). Существует 261 различная развёртка тессеракта . Развёртки тессеракта могут быть подсчитаны нанесением на граф соединённых углов.

Тессеракт в искусстве

У Эдвине А. «Новая Равнина Абботта», гиперкуб выступает рассказчиком.
В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона» «мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы » (1963) Роберта Хайнлайна .
Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы, по крайней мере, в трёх научно-фантастических рассказах. В «Доме четырёх измерений» («Дом, который построил Тил», ) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом.
В романе «Дорога славы » Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.
Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
В романе Алекса Гарленда (), термин «тессеракт» используется для трёхмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб » сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.
Телесериал «Андромеда » использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем .
Картина «Распятие на кресте » (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали ().
Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.
В сериале «Школа „Чёрная дыра“ » в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку и школа начинает «складываться как математический тессеракт».
Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени».
TesseracT название британской джент группы.
В серии фильмов Кинематографическая вселенная Marvel Тессеракт - это ключевой элемент сюжета, космический артефакт в форме гиперкуба.
В рассказе Роберта Шекли «Мисс Мышка и четвертое измерение» один писатель-эзотерик, знакомец автора, пытается увидеть тессеракт, часами глядя на сконструированный им прибор: шар на ножке с воткнутыми в него стержнями, на которые насажены кубы, обклеенные всеми подряд эзотерическими символами. В рассказе упоминается труд Хинтона.
В фильмах Первый Мститель, Мстители. Тессеракт-энергия все вселенной

Другие названия

Гексадекахорон (англ. Hexadecachoron )
Октохорон (англ. Octachoron )
Тетракуб
4-Куб
Гиперкуб (если не оговаривается число измерений)

Примечания

Литература

Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Ссылки

На русском языке

Программа Transformator4D. Формирование моделей трёхмерных проекций четырёхмерных объектов (в том числе и Гиперкуба).
Программа, реализующая построение тессеракта и все его афинные преобразования, с исходниками на С++.

На английском языке

Mushware Limited - программа вывода тессеракта (Tesseract Trainer , лицензия совместима с GPLv2) и шутер от первого лица в четырёхмерном пространстве (Adanaxis ; графика, в основном, трёхмерная; есть версия под GPL в репозиториях ОС).

Многогранники

Правильные
(Платоновы тела)

Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр

Выпуклые

Архимедовы тела	Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубоктаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый кубоктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Усечённый кубооктаэдр Усечённый икосододекаэдр Правильная призма Антипризма
Каталановы тела	Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Дисдакисдодекаэдр Дисдакистриаконтаэдр
Без полной пространственной симметрии	Пирамида Призма Бипирамида Антипризма Зоноэдр Параллелепипед Ромбоэдр Призматоид Усечённая пирамида
Пентагондодекаэдр Параллелоэдр

Формулы ,
теоремы ,
теории

Прочее

Wikimedia Foundation . 2010 .

September 19th, 2009
Тессеракт (от др.-греч. τέσσερες ἀκτῖνες — четыре луча) — четырёхмерный гиперкуб — аналог куба в четырёхмерном пространстве.

Изображение является проекцией (перспективой) четырёхмерного куба на трёхмерное пространство.

Согласно Оксфордскому словарю, слово «tesseract» было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853—1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру «тетракубом».

Геометрия

Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями, пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Популярное описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат ABCD. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трехмерный куб ABCDHEFG. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Построение_тессеракта.PNG

Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата ABCD, квадрат — стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

Развёртка тессеракта

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями — боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» — трёхмерные грани — будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в четвёртом измерении. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Её часть, оставшаяся в «нашем» пространстве, нарисована сплошными линиями, а то, что ушло в гиперпространство, пунктирными. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру — развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один — грань, ей противоположную. А трёхмерная развертка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного — конечной «гиперграни».

Проекции

На двухмерное пространство

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двухмерные или трёхмерные пространства. Кроме того, проектирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:

На трёхмерное пространство

Проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

Шесть усеченных пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов.
Стереопара

Поверхность тессеракта может быть развёрнута в восемь кубов (аналогично тому, как поверхность куба может быть развернута в шесть квадратов). Существует 261 различная развёртка тессеракта. Развёртки тессеракта могут быть подсчитаны нанесением на граф соединённых углов.

Тессеракт в искусстве

У Эдвине А. «Новая Равнина Абботта», гиперкуб выступает рассказчиком.
В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона»: «Мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы» 1963 Хайнлайна.
Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы, по крайней мере, в трёх научно-фантастических рассказах. В «Дом четырех измерений» («Дом, который построил Тил») (1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта.
В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная посуда, которая была изнутри больше, чем снаружи.
Рассказ Генри Каттнера «Mimsy Were the Borogoves» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трехмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.
Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.
Картина «Распятие на кресте» (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали (1954)
Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.
В сериале «Школа „Чёрная дыра“» в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку и школа начинает складываться как математический тессеракт.
Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени»

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века. Идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения.

Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента.

Тессеракт

В геометрии гиперкуб - это n-мерная аналогия квадрата (п = 2) и куба (п = 3). Четырёхмерный аналог обычного нашего 3-мерного куба известен под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный многогранник, чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Кстати согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. тетра - четыре) - четырёхмерным кубом.

Построение и описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб можно разбить на бесконечное количество кубов, подобно тому, как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».

Гиперкуб в искусстве

Тессеракт настолько интересная фигура, что неоднократно привлекал внимание писателей и кинематографистов.
Роберт Э. Хайнлайн несколько раз упоминал гиперкубы. В «Доме, который построил Тил», (1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом. В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.

Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.

Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.

Параллельный мир

Математические абстракции вызвали к жизни представление о существовании параллельных миров. Под таковыми понимаются реальности, которые существуют одновременно с нашей, но независимо от неё. Параллельный мир может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном мире события происходят по-своему, он может отличаться от нашего мира, как в отдельных деталях, так и практически во всём. При этом физические законы параллельного мира не обязательно аналогичны законам нашей Вселенной.

Эта тема - благодатная почва для писателей-фантастов.

На картине Сальвадора Дали «Распятие на кресте» изображен тессеракт. «Распятие или Гиперкубическое тело», - картина испанского художника Сальвадора Дали, написанная в 1954 году. Изображает распятого Иисуса Христа на развертке тессеракта. Картина хранится в Музее Метрополитен в Нью-Йорке

Всё началось в 1895 году, когда Герберт Уэллс рассказом «Дверь в стене» открыл для фантастики существование параллельных миров. В 1923 году Уэллс вернулся к идее параллельных миров и поместил в один из них утопическую страну, куда отправляются персонажи романа «Люди как боги».

Роман не остался незамеченным. В 1926 году появился рассказ Г. Дента «Император страны „Если"». В рассказе Дента впервые возникла идея о том, что могут существовать страны (миры), история которых могла пойти не так, как история реальных стран в нашем мире. И миры эти не менее реальны, чем наш.

В 1944 году Хорхе Луис Борхес опубликовал в своей книге «Вымышленные истории» рассказ «Сад расходящихся тропок». Здесь идея ветвления времени была, наконец, выражена с предельной ясностью.
Несмотря на появление перечисленных выше произведений, идея многомирия начала серьёзно развиваться в научной фантастике лишь в конце сороковых годов XX века, примерно тогда же, когда аналогичная идея возникла в физике.

Одним из пионеров нового направления в фантастике был Джон Биксби, предположивший в рассказе «Улица одностороннего движения» (1954), что между мирами можно двигаться лишь в одну сторону - отправившись из своего мира в параллельный, вы уже не вернетесь назад, но так и будете переходить из одного мира в следующий. Впрочем, возвращение в свой мир также не исключается - для этого необходимо, чтобы система миров была замкнута.

В романе Клиффорда Саймака «Кольцо вокруг Солнца» (1982) описаны многочисленные планеты Земля, существующие каждая в своём мире, но на одной и той же орбите, и отличаются эти миры и эти планеты друг от друга лишь незначительным (на микросекунду) сдвигом во времени. Многочисленные Земли, которые посещает герой романа, образуют единую систему миров.

Любопытный взгляд на ветвление миров высказал Альфред Бестер в рассказе «Человек, который убил Магомета» (1958). «Меняя прошлое, - утверждал герой рассказа, - меняешь его только для себя». Иными словами, после изменения прошлого возникает ответвление истории, в котором лишь для персонажа, совершившего изменение, это изменение и существует.

В повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу» (1962) описаны путешествия персонажей в разные варианты описываемого фантастами будущего - в отличие от уже существовавших в фантастике путешествий в различные варианты прошлого.

Впрочем, даже простое перечисление всех произведений, в которых затрагивается тема параллельности миров, заняло бы слишком много времени. И хотя фантасты, как правило, научно не обосновывают постулат о многомерности, в одном они правы - это гипотеза, которая имеет право на существование.
Четвертое измерение тессеракта все еще ждет нас в гости.

Виктор Савинов

Вселенная четырех измерений, или четырех координат, так же неудовлетворительна, как трех. Можно сказать, что мы не обладаем всеми данными, необходимыми для построения вселенной, поскольку ни три координаты старой физики, ни четыре координаты новой не достаточны для описания, всего многообразия явлений во вселенной.

Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей.

Одномерным кубом на прямой является отрезок. Двумерным - квадрат. Граница квадрата состоит из четырех точек - вершин и четырех отрезков - ребер. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки. Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины - их 8, ребра (отрезки) -их 12 и грани (квадраты) -их 6. Одномерный отрезок АВ служит гранью двумерного квадрата ABCD, квадрат - стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба.

В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и еще 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и еще четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

Размерность куба	Размерность границы
Размерность куба

2 квадрат

4 тессеракт

Координаты в четырехмерном пространстве.

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного пространства как тройка чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырехмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четверку чисел.

Двумерной гранью четырехмерного куба называется множество точек, для которых две какие-нибудь координаты могут принимать всевозможные значения от 0 до 1, а две другие постоянны (равны либо 0, либо 1).

Трехмерной гранью четырехмерного куба называется множество точек, у которых три координаты принимают все возможные значения от 0 до 1, а одна постоянна (равна либо 0, либо 1).

Развертки кубов различных размерностей.

Берем отрезок, со всех сторон поместим по отрезку, и еще один прикрепим к любому, в данном случае к правому отрезку.

Получили развертку квадрата.

Берем квадрат, со всех сторон поместим по квадрату, еще один прикрепим к любому, в данном случае к нижнему квадрату.

Это развертка трехмерного куба.

Четырехмерный куб

Берем куб, со всех сторон поместим по кубу, еще один прикрепим к любому, в данном нижнему кубу.

Развертка четырехмерного куба

Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из проволоки и в вершине (1;1;1;1) сидит муравей, тогда из одной вершины в другую муравью придется ползти по ребрам.

Вопрос: по скольким ребрам ему придется ползти, чтобы попасть в вершину (0;0;0;0)?

По 4 ребрам, то есть вершину (0;0;0;0) - вершина 4 порядка, пройдя по 1 ребру он может попасть в вершину, имеющую одну из координат 0, это вершина 1 порядка, пройдя по 2 ребрам он может попасть в вершины где 2 нуля, это вершины 2 порядка, таких вершин 6, пройдя по 3 ребрам, он попадет в вершины у которых 3 координаты нуль, это вершины третьего порядка.

Существуют и другие кубы в многомерном пространстве. Кроме тессеракта можно построить кубы с большим числом измерений. Моделью пятимерного куба является пентеракт.Пентеракт имеет 32 вершины,80 рёбер, 80 граней, 40 кубов и 10 тессерактов.

Художники, режиссеры, скульпторы, ученые по-разному представляют многомерный куб. Приведем некоторые примеры:

Многие писатели-фантасты описывают в своих произведениях тессеракт. Например, Роберт Энсон Хайнлайн (1907–1988) упоминал гиперкубы в, по крайней мере, трех из его научно-популярных рассказов. В «Дом четырех измерений» он описал дом, построенный как развертка тессеракта.

Сюжет фильма «Куб-2» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в гиперкубе.

« Распятие» Сальвадора Дали 1954(1951) год. Сюрреализм Дали искал точек соприкосновения нашей реальности и потустороннего, в частности, 4–мерного мира. Поэтому, с одной стороны, поразительно, а, с другой, ничего удивительного в том, что геометрическая фигура из кубиков, образующая христианский крест, является изображением 3–мерной развертки 4–мерного куба или тессеракта .

21 октября на математическом факультете Университета штата Пенсильвания состоялось открытие необычной скульптуры под названием «Октакуб». Она представляет собой изображение четырехмерного геометрического объекта в трехмерном пространстве. По мнению автора скульптуры, профессора Адриана Окнеану, столь красивой фигуры такого рода в мире не существовало, ни виртуально, ни физически, хотя трехмерные проекции четырехмерных фигур изготавливались и раньше.

Вообще математики легко оперируют с четырех-, пяти– и еще более многомерными объектами, однако изобразить их в трехмерном пространстве невозможно. «Октакуб», как и все подобные фигуры не является действительно четырехмерным. Его можно сравнить с картой - проекцией трехмерной поверхности земного шара на плоский лист бумаги.

Трехмерная проекция четырехмерной фигуры была получена Окнеану методом радиальной стереографии при помощи компьютера. При этом была сохранена симметрия исходной четырехмерной фигуры. Скульптура имеет 24 вершины и 96 граней. В четырехмерным пространстве грани фигуры прямые, но в проекции они искривлены. Углы же между гранями у трхмерной проекции и исходной фигуры одинаковы.

«Октакуб» был изготовлен из нержавеющей стали в инженерных мастерских Университета штата Пенсильвания. Установлена скульптура в отремонтированном корпусе имени Макаллистера математического факультета.

Многомерное пространство интересовало многих ученых, таких как Рене Декарт, Герман Минковский. В наши дни идет преумножение знаний по данной теме. Это помогает математикам, исследователям и изобретателям современности в достижении их целей и развитию науки. Шаг в многомерное пространство - это шаг в новую более развитую эру человечества.