Механика.
Вопрос №1
Система отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея - Эйнштейна.
Система отсчёта - это совокупность тел по отношению к которым описывается движение данного тела и связанная с ним система координат.
Инерциальная система отсчёта (ИСО) - это система, в которой свободно движущееся тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Принцип относительности Галилея - Эйнштейна - Все явления природы в любой инерциальной системе отсчёта происходят одинаково и имеют одинаковый математический вид. Другими словами все ИСО равноправны.
Вопрос №2
Уравнение движения. Виды движения твёрдого тела. Основная задача кинематики.
Уравнения движения материальной точки:
- кинематическое уравнение движения
Виды движения твёрдого тела:
1) Поступательное движение - любая прямая проведённая в теле перемещается параллельно самой себе.
2) Вращательно движение - любая точка тела движется по окружности.
φ = φ(t)
Основная задача кинематики - это получение зависимостей от времени скорости V= V(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t) материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных условий V 0 и r 0 .
Вопрос №7
И́мпульс (Количество движения ) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости
В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты , то в силу уравнений Лагранжа .
Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: , отсюда:
Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства : для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:
соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)
Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:
Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:
Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).
В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина
,
где m i - масса i -й материальной точки.
Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как
На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:
В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.
Вопрос №8
Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инерции тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества
Осевой момент инерции
Осевые моменты инерции некоторых тел.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
- dm = ρdV - масса малого элемента объёма тела dV ,
- ρ - плотность,
- r - расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Вывод формулы
dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Теорема Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Энергия вращательного движения
Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.
Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость (ω) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:
K z = I z ω
и кинетическая энергия
где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.
Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением
где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.
В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:
, где I
- тензор инерции.
Вопрос №9
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой непПроизводная момента импульса по времени есть момент силы:
Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:
где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).
Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому
Поскольку твердое тело представляет собой частный случай системы материальных точек, то кинетическая энергия тела при вращении вокруг неподвижной оси Z будет равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек, то есть
Все материальные точки твердого тела вращаются в этом случае по окружностям с радиусами и с одинаковыми угловыми скоростями . Линейная скорость каждой материальной точки твердого тела равна . Кинетическая энергия твердого тела примет вид
Сумма в правой части этого выражения в соответствии с (4.4) представляет собой момент инерции этого тела относительно данной оси вращения. Поэтому формула для расчета кинетической энергии вращающегося относительно неподвижной оси твердого тела примет окончательный вид:
. (4.21)
Здесь учтено, что
Вычисление кинетической энергии твердого тела в случае произвольного движения значительно усложняется. Рассмотрим плоское движение, когда траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях. Скорость каждой материальной точки твердого тела, согласно (1.44), представим в виде
,
где в качестве мгновенной оси вращения выберем ось, проходящую через центр инерции тела перпендикулярно плоскости траектории какой-либо точки тела. В этом случае в последнем выражении представляет собой скорость центра инерции тела, - радиусы окружностей, по которым вращаются точки тела с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр его инерции. Так как при таком движении ^, то вектор, равный , лежит в плоскости траектории точки.
На основании сказанного выше кинетическая энергия тела при его плоском движении равна
.
Возводя выражение, стоящее в круглых скобках, в квадрат и вынося за знак суммы постоянные для всех точек тела величины, получим
Здесь учтено, что ^.
Рассмотрим каждое слагаемое в правой части последнего выражения отдельно. Первое слагаемое в силу очевидного равенства равно
Второе слагаемое равно нулю, так как сумма определяет радиус-вектор центра инерции (3.5), который в данном случае лежит на оси вращения. Последнее слагаемое с учетом (4.4) примет вид . Теперь, окончательно, кинетическая энергия при произвольном, но плоском движении твердого тела может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:
, (4.23)
где первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе тела и движущейся со скоростью, которую имеет центр масс тела;
второе слагаемое представляет собой кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг оси (движущейся со скоростью ), проходящей через его центр инерции.
Выводы: Итак, кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси может быть вычислена с помощью одного из соотношений (4.21), а в случае плоского движения с помощью (4.23).
Контрольные вопросы.
4.4. В каких случаях (4.23) переходит в (4.21)?
4.5. Как будет выглядеть формула для кинетической энергии тела при его плоском движении, если мгновенная ось вращения не проходит через центр инерции? Каков при этом смысл входящих в формулу величин?
4.6. Покажите, что работа внутренних сил при вращении твердого тела равна нулю.
Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неоодвижной оси которую мы назовем осью z (рис. 41.1). Линейная скорость элементарной массы равна где - расстояние массы от оси . Следовательно для кинетической энергии элементарной массы получается выражение
Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела 1 относительно оси вращения. образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна
Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (см. рис. 41.1). Согласно (20.5) эти силы совершат за время работу
Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей (см. (2.34)), получим:
где N - момент внутренней силы относительно точки О, N - аналогичный момент внешней силы.
Просуммировав выражение (41.2) по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:
Сумма моментов внутренних сил равна нулю (см. (29.12)). Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил через N придем к выражению
(мы воспользовались формулой (2.21)).
Наконец, приняв во внимание, что есть угол на который поворачивается тело за время получим:
Знак работы зависит от знака т. е. от знака проекции вектора N на направление вектора
Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, работа же внешних сил определяется формулой (41.4).
К формуле (41.4) можно прийти, воспользовавшись тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии (см. (19.11)). Взяв дифференциал от обеих частей равенства (41.1), придем к соотношению
Согласно уравнению (38.8) так что, заменив через придем к формуле (41.4).
Таблица 41.1
В табл. 41.1 сопоставлены формулы механики вращательного движений с аналогичными формулами механики поступательного движения (механики точки). Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы момент силы, роль импульса - момент импульса и т. д.
Формулу. (41.1) мы получили для случая, когда тело вращается вокруг неподвижной фиксированной в теле оси. Теперь допустим что тело вращается произвольным образом относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром масс.
Свяжем жестко с телом декартову систему координат, начало которой поместим в центр масс тела. Скорость i-й элементарный массы равна Следовательно, для кинетической энергии тела, можно написать выражение
где - угол между векторами Заменив а через и учтя, что получим:
Распишем скалярные произведения через проекции векторов на оси связанной с телом координатной системы:
Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми произведениями компонент угловой скорости и вынеся эти произведения за знаки сумм, получим: так что формула (41.7) принимает вид (ср. с (41.1)). При вращении произвольного тела вокруг одной из главных осей инерции, скажем оси и формула (41.7) переходит в (41.10.
Таким, образом. кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трех случаях: 1) для тела вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется белее сложными формулами (41.5) или (41.7).
Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки
или
Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:
(3.22)
(J - момент инерции тела относительно оси вращения)
Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна
(3.23)
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.
§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела
При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
dA
= dE
или
Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна
(3.25)
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.
Примеры решения задач
Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν 0 =720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.
Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения
где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω - ω 0 , причём ω =0 конечная угловая скорость, ω 0 =2πν 0 - начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.
Зная все величины, можно определить тормозящий момент
Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)
(2)
Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле
(3)
где β–угловое ускорение.
По условию задачи: ω =ω 0 – βΔt, так как ω=0, ω 0 = βΔt
Тогда выражение (2) может быть записано в виде:
Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.
Момент сил терния М 1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения
M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1
где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 - момент инерции маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков
Тогда 
Момент сил трения М 2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE к:
где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.
Тогда, откуда
О
тношение
будет равно
Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.
Пример
2.3.
Масса
однородного сплошного диска m, массы
грузов m
1
и m
2
(рис.15). Скольжения и трения нити в оси
цилиндра нет. Найти ускорение грузов и
отношение натяжений нити
в процессе движения.
Проскальзывания нити нет,
поэтому, когда m 1
и m 2
будут совершать поступательное движение,
цилиндр будет совершать вращение
относительно оси, проходящей через
точку О. Положим для определённости,
что m 2
> m 1
.
Тогда груз m 2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему
Первые два уравнения записаны для тел с массами m 1 и m 2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T 1 взят со знаком минус, так как сила T 1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I - момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен
где R - радиус цилиндра; β - угловое ускорение цилиндра.
Так как
проскальзывания нити нет, то 
. С учётом выражений для I и β получим:
Складывая уравнения системы, приходим к уравнению
Отсюда находим ускорение a грузов
Из полученного
уравнения видно, что натяжения нитей
будут одинаковы, т.е. 
=1,
если масса цилиндра будет гораздо меньше
массы грузов.
Пример
2.4.
Полый
шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус
R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается
вокруг оси, проходящей через его центр.
В определённый момент на шар начинает
действовать сила, в результате чего
угол поворота шара изменяется по закону
.
Определить момент приложенной силы.
Решаем задачу,
используя основное уравнение динамики
вращательного движения 
.
Основная трудность – определить момент
инерции полого шара, а угловое ускорение
β находим как 
.
Момент инерции I полого шара равен
разности моментов инерции шара радиуса
R и шара радиуса r:
где ρ - плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара
Отсюда определим плотность материала шара
Для момента силы M получаем следующее выражение:
Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.
Используем закон сохранения момента импульса
(1)
(J i -момент инерции стержня относительно оси вращения).
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен
J 0 = mℓ 2 /12. (3)
По теореме Штейнера
J =J 0 +mа 2
(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).
Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
J 2 =J 0 +mа 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2):
mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3
ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1
Пример 2.6 . Человек массой m =60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν 1 =12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν 2 будет тогда вращаться платформа.
Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12мин -1 = 0,2с -1 .
Найти: ν 1
Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
где
-
момент инерции системы, когда человек
стоит на краю платформы (учли, что момент
инерции платформы, равен
(R
– радиус п
латформы),
момент инерции человека на краю платформы
равенmR 2).
-
момент инерции системы, когда человек
стоит в центре платформы (учли, что
момент человека, стоящего в центре
платформы, равен нулю). Угловая скорость
ω 1 =
2π ν 1
и
ω 1 =
2π ν 2 .
Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем
откуда искомая частота вращения
Ответ : ν 2 =24мин -1 .
Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где - ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна
.
Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому
.
Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно
. (5.30)
Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой 
.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид
.
Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела
Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение
.
В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения
С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду
где - проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, - угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.
Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело
В случае, если , то формула упрощается
Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.
Гироскоп
Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С 1 С 2 , проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В 1 В 2 , перпендикулярной к С 1 С 2 . Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А 1 А 2 , перпендикулярной к осям С 1 С 2 и В 1 В 2 . Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.
Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.
1) Устойчивость.
При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.
Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.
Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал
. (5.34)
Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.
Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.
2). Гироскопический эффект.
Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О 1 О 1 и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О 2 О 2 . Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения
3). Прецессия гироскопа.
Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).
Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.
Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине
где - масса гироскопа, - расстояние от точки О до цента масс гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.
Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.
Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен
где - момент импульса гироскопа, а - его приращение за время .
Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии
. (5.35)
Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .
В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.
Примеры применения законов динамики
При вращательном движении
1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.
По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая
где - момент инерции человека и скамьи, и - момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и - угловые скорости системы.
Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна
.
Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы
2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180 0 . При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.
Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен
где - момент инерции колеса, - угловая скорость его вращения.
После поворота колеса на угол 180 0 момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим
,
где - момент инерции системы «человек-платформа», - угловая скорость вращения скамьи с человеком.
По закону сохранения момента импульса
и 
.
В итоге, находим скорость вращения скамьи
3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем
Здесь - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; 
- момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.
Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим
,
.
4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m 1 =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m 2 =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса
Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле
,
где - момент инерции стержня относительно точки подвеса, - момент инерции пули, - угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.
Решая после подстановки полученное уравнение, найдем
.
Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:
,
где - высота поднятия центра масс данной системы.
Проведя необходимые преобразования, получим
Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением
.
Проведя вычисления, получим =0,1p=18 0 .
5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I , радиус блока r . Массой нити пренебречь.
Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики
Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением
Решая эти уравнения, получим
После чего находим T 1 и T 2 .
6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M
= 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h
=1 м до нижнего положения. Радиус шкива r
=3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m
=250 г каждый на расстоянии R
= 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.
Loading...